Primitives et calcul intégral

Dériver, c'est descendre ; intégrer, c'est remonter. Le chapitre repose entièrement sur ce renversement, et sur le théorème qui le rend calculable : une aire sous une courbe se détermine sans découper la moindre bande, pourvu qu'on sache reconnaître une primitive.

Primitives

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F' = f$ sur $I$.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante — c'est immédiat, leur différence a une dérivée nulle sur un intervalle. Il n'y a donc jamais « la » primitive, mais une famille $F + C$, et une condition initiale la détermine.

Les formes composées sont celles qu'on doit reconnaître, car c'est ainsi qu'un énoncé les présente :

L'exercice consiste presque toujours à faire apparaître le facteur $u'$ manquant, quitte à multiplier et diviser par une constante. Devant $x\,e^{x^2}$, on écrit $\tfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2}$ et la primitive est $\tfrac{1}{2}e^{x^2}$.

La valeur absolue dans $\ln\lvert u \rvert$ n'est pas un ornement : sans elle, la primitive de $1/x$ serait fausse sur $]-\infty;0[$.

L'intégrale

Pour $f$ continue sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ :

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, la constante s'éliminant dans la soustraction. C'est le théorème fondamental : le calcul d'aire se ramène à deux évaluations.

Quand $f \geqslant 0$ sur $[a;b]$, l'intégrale est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$, en unités d'aire. Si $f$ change de signe, l'intégrale compte négativement les parties sous l'axe : une intégrale nulle ne signifie pas une aire nulle.

Cette animation, empruntée au cours d'algorithmique, montre des vitesses de croissance comparées. On la relit ici autrement : sous chacune de ces courbes, l'aire accumulée depuis 0 est précisément l'intégrale de la fonction, et c'est elle que la primitive calcule d'un trait.

Propriétés

La deuxième est la relation de Chasles : elle sert à découper aux points où $f$ change de signe, ou aux points de raccord d'une fonction définie par morceaux.

Positivité et croissance. Si $f \geqslant 0$ sur $[a;b]$ avec $a \leqslant b$, alors $\int_a^b f \geqslant 0$. Et si $f \leqslant g$, alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$. L'inégalité se conserve — à condition que les bornes soient dans l'ordre, faute de quoi elle s'inverse.

Cette croissance est ce qui permet d'encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer : on encadre la fonction, on intègre, et l'encadrement suit.

Valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ :

C'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

Intégration par parties

Elle transforme une intégrale en une autre. Le choix de $u'$ et de $v$ décide de tout : $v$ doit devenir plus simple en dérivant. Un polynôme perd un degré, un logarithme devient une fraction rationnelle — ce sont les deux cas du programme.

Pour $\int x e^x\,\mathrm{d}x$ : on pose $v = x$ et $u' = e^x$. La nouvelle intégrale $\int e^x$ est immédiate. Le choix inverse aurait donné $\int \tfrac{x^2}{2}e^x$, pire que l'originale — le signe qu'on s'est trompé de répartition.

Aires et volumes

Aire entre deux courbes. Si $f \geqslant g$ sur $[a;b]$, l'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut $\int_a^b (f - g)$. On détermine d'abord les abscisses d'intersection, puis le signe de $f - g$ sur chaque morceau.

Volume de révolution. Le solide engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses a pour volume

Le carré vient de l'aire du disque de rayon $f(x)$ ; l'intégrale empile ces disques. Oublier le $\pi$ ou le carré donne un résultat homogène à autre chose qu'un volume, ce qui se détecte sans calcul.

Ce que la somme de Riemann apprend

// L'intégrale est une limite d'aires de rectangles. On le vérifie.
// ∫ de 0 à 1 de x² vaut exactement 1/3.

const f = (x) => x * x;

// Somme des aires de n rectangles de largeur 1/n, hauteur prise à droite.
function rectangles(n) {
  let somme = 0;
  for (let k = 1; k <= n; k++) {
    // à compléter : ajouter l'aire du k-ième rectangle
  }
  return somme;
}

for (const n of [4, 10, 100, 10000, 1000000]) {
  console.log("n =", n, " somme =", rectangles(n).toFixed(8));
}
console.log("valeur exacte :", (1 / 3).toFixed(8));

À retenir