Exponentielles et puissances

L'exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée. Cette phrase la définit entièrement, et explique pourquoi elle apparaît partout où une grandeur varie proportionnellement à elle-même : intérêts composés, désintégration radioactive, refroidissement, croissance de population.

Définition

$\ln$ est continue et strictement croissante de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : c'est donc une bijection. Sa réciproque est la fonction exponentielle.

De cette construction découle tout le reste, sans rien à mémoriser de neuf :

Trois faits en découlent, à traiter comme des réflexes. L'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier — contrairement au logarithme. Elle est strictement positive : $e^x > 0$ pour tout $x$, ce qui permet de diviser par $e^x$ sans précaution et de conclure sur le signe d'un produit. Et $e^0 = 1$.

Propriétés algébriques

Ce sont les propriétés du logarithme lues à l'envers : l'exponentielle transforme les sommes en produits. Elles valent pour tous réels, sans condition de domaine — la différence pratique avec $\ln$ est là, et elle allège considérablement les calculs.

Dérivée et variations

Comme $e^x > 0$, la dérivée est strictement positive : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Et le signe de $\left(e^u\right)'$ est celui de $u'$ seul, puisque $e^u$ ne change jamais de signe — remarque qui simplifie la moitié des études de fonctions du programme.

Limites

La première donne une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ en $-\infty$. La courbe s'en approche sans jamais l'atteindre, ce que traduit la stricte positivité.

Les croissances comparées sont le pendant exact de celles du logarithme :

Une phrase les résume : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. En $+\infty$ elle écrase le dénominateur ; en $-\infty$ elle écrase le facteur polynomial, aussi grand que soit son degré. La troisième limite est le nombre dérivé de $e^x$ en 0.

Équations et inéquations

La stricte croissance donne les équivalences de résolution :

et le passage d'une forme à l'autre :

La condition $k > 0$ est celle qui décide. $e^A = -2$ n'a aucune solution, et le constater est la réponse complète : inutile de calculer. Une équation exponentielle sans solution est un cas d'énoncé courant.

Les équations qui se ramènent à un trinôme forment l'autre cas type. Devant $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$, on pose $X = e^x$ : le trinôme $X^2 - 3X + 2$ a pour racines 1 et 2, d'où $x = 0$ ou $x = \ln 2$. Le changement de variable impose $X > 0$ — une racine négative se rejette sans discussion.

Fonctions puissances

Pour $a > 0$, on pose $a^x = e^{x \ln a}$. Cette définition étend les puissances à tout exposant réel, et son sens de variation ne dépend que du signe de $\ln a$ : croissante si $a > 1$, décroissante si $0 < a < 1$, constante si $a = 1$.

C'est la formule qui rend calculable $2^{\sqrt{2}}$, et celle qui relie la fonction exponentielle aux suites géométriques : $q^n = e^{n \ln q}$ éclaire d'un coup pourquoi $q^n$ tend vers 0 quand $q < 1$ — l'exposant $n \ln q$ tend alors vers $-\infty$.

Ce qu'une limite ne dit pas

// « L'exponentielle l'emporte sur toute puissance » : à quel prix ?
// On cherche à partir de quel x on a e^x > x^10.

const f = (x) => Math.exp(x);
const g = (x) => x ** 10;

// 1. Comparer sur quelques valeurs. Qui domine au début ?
for (const x of [2, 5, 10, 20, 35, 50]) {
  console.log("x =", x, " e^x =", f(x).toExponential(2), " x^10 =", g(x).toExponential(2));
}

// 2. Trouver le seuil : le plus petit entier x tel que e^x dépasse x^10.
function seuil() {
  let x = 1;
  // à compléter : avancer tant que e^x reste inférieur ou égal à x^10
  return x;
}

console.log("seuil :", seuil());

À retenir