Champ magnétique et force de Laplace

Un champ magnétique ne se voit pas, ne pèse rien, et n'agit sur rien de ce qui est immobile. Il ne se manifeste qu'en présence d'une charge en mouvement — un courant dans un fil, un électron lancé dans le vide. C'est ce qui le rend abstrait, et c'est aussi ce qui l'explique : un champ magnétique est ce que voit une charge quand une autre charge se déplace.

Le chapitre installe deux choses : d'où vient le champ, et ce qu'il fait à un conducteur parcouru par un courant.

Le vecteur champ magnétique

En chaque point de l'espace, $\vec{B}$ possède une direction, un sens et une valeur, mesurée en teslas (T). Une aiguille aimantée placée en un point s'oriente selon $\vec{B}$, son pôle nord indiquant le sens.

Les ordres de grandeur méritent d'être connus, ne serait-ce que pour repérer un résultat aberrant :

Un exercice qui produit $B = 500$ T contient une erreur, quelle que soit l'élégance du calcul qui y mène.

Les lignes de champ sont les courbes tangentes en tout point à $\vec{B}$. Elles sortent du pôle nord d'un aimant et y rentrent par le sud, se referment toujours sur elles-mêmes, et ne se croisent jamais — un point ne peut pas avoir deux directions de champ. Là où elles se resserrent, le champ est intense. Un champ est uniforme dans une région où ces lignes sont parallèles et régulièrement espacées : c'est le cas à l'intérieur d'un solénoïde, et c'est ce qui rend cette géométrie omniprésente en exercice.

Les champs créés par des courants

Trois géométries sont au programme, et une seule règle d'orientation.

Le fil rectiligne infini. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil, dans des plans perpendiculaires à lui.

Le solénoïde, long devant son diamètre. Le champ y est uniforme à l'intérieur, quasi nul à l'extérieur :

Le point à ne pas manquer : $n$ est le nombre de spires par mètre. Deux solénoïdes de longueurs différentes mais de même densité de spires produisent le même champ, et doubler à la fois $N$ et $\ell$ ne change rien.

La bobine plate de $N$ spires de rayon $R$, en son centre : $B = \mu_0 N I / (2R)$.

L'orientation se retrouve dans les trois cas par la règle du tire-bouchon : on tourne le tire-bouchon dans le sens du courant, il avance dans le sens du champ. Pour un fil on tourne autour du fil ; pour une bobine on tourne dans le sens des spires, et $\vec{B}$ sort par la face nord.

La force de Laplace

Un conducteur de longueur $\ell$, parcouru par un courant $I$, placé dans un champ $\vec{B}$, subit la force

où $\vec{\ell}$ est orienté dans le sens du courant et $\theta$ est l'angle entre le conducteur et le champ.

C'est encore un produit vectoriel, donc encore un trièdre à dessiner. La force est perpendiculaire à la fois au conducteur et au champ, et son sens s'obtient par la règle des trois doigts de la main droite : le pouce dans le sens du courant, l'index dans celui du champ, le majeur donne la force.

Deux conséquences du sinus, et elles se contrôlent l'une par l'autre :

• conducteur perpendiculaire au champ : $\sin\theta = 1$, force maximale $F = BI\ell$ ;
• conducteur parallèle au champ : $\sin\theta = 0$, force nulle.

Ce second cas est le meilleur test d'une expression : un fil placé le long des lignes de champ ne subit rien, et une formule qui prédirait le contraire est fausse.

Le lien avec la force de Lorentz

La force de Laplace n'est pas une force nouvelle. Le courant est un déplacement de porteurs de charge, chacun subissant $q\vec{v} \wedge \vec{B}$ ; la force de Laplace est la somme de ces forces élémentaires, transmise au conducteur par les chocs des porteurs sur le réseau cristallin.

Cela explique un fait autrement mystérieux : pourquoi le fil, globalement neutre, est-il poussé ? Parce que ce sont ses électrons qui sont déviés, et qu'ils entraînent le métal avec eux.

Trois applications

Les rails de Laplace. Une barre conductrice mobile posée sur deux rails horizontaux, dans un champ vertical. Le courant traverse la barre, la force de Laplace la met en mouvement. Le dispositif est simple, quantifiable, et c'est le sujet d'exercice le plus fréquent du chapitre — il combine la force de Laplace avec le théorème du centre d'inertie du chapitre 2.

Le moteur à courant continu. Un cadre parcouru par un courant, dans un champ : les deux côtés perpendiculaires au champ subissent des forces opposées, qui ne se compensent pas en moment. Le cadre tourne. Le collecteur inverse le courant à chaque demi-tour, sans quoi le cadre oscillerait autour de sa position d'équilibre au lieu de tourner.

Le haut-parleur. Une bobine mobile dans l'entrefer d'un aimant permanent : le courant audio y crée une force de Laplace variable, la membrane suit, l'air est mis en mouvement.

À vous

// Un solénoïde de 40 cm de long comporte 800 spires et est
// parcouru par un courant I. À l'intérieur, une barre conductrice
// de longueur L, perpendiculaire au champ, porte un courant i.
const MU0 = 4 * Math.PI * 1e-7;

// 1. Le champ à l'intérieur du solénoïde ne dépend que du nombre
//    de spires PAR MÈTRE, jamais de la longueur seule.
const champSolenoide = (N, longueur, I) => 0;  // à corriger

// 2. La force de Laplace sur une portion de conducteur.
//    theta est l'angle entre le conducteur et le champ.
const laplace = (B, i, L, theta) => 0;         // à corriger

const B = champSolenoide(800, 0.40, 2.5);
console.log(B.toExponential(2));               // attendu : 6.28e-3

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(90)).toExponential(2)); // 2.51e-3
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(30)).toExponential(2)); // ?
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(0)).toExponential(2));  // ?

// 3. Que devient le champ si l'on double à la fois le nombre de
//    spires ET la longueur du solénoïde ?

Un exercice de bac

À retenir