Énergie et oscillateurs

Les deux chapitres précédents résolvaient les problèmes par les forces : bilan, projection, équations horaires. Ce chapitre en propose une seconde voie, qui ne remplace pas la première mais la court-circuite dans un cas précis — lorsque l'énoncé demande une vitesse à une position donnée sans rien dire du temps.

L'approche énergétique ignore le détail du trajet. Elle ne dit pas quand le mobile arrive, elle dit à quelle vitesse. Savoir laquelle des deux méthodes employer est, en soi, une compétence évaluée.

Travail et puissance

Le travail d'une force constante sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$ est le produit scalaire

Il s'exprime en joules. Le cosinus décide de son signe, et c'est tout ce qu'il faut retenir :

• $\theta$ aigu, travail moteur, positif — la force aide au déplacement ;
• $\theta$ droit, travail nul — c'est le cas de la réaction normale et de la force de Lorentz, qui ne travaillent jamais ;
• $\theta$ obtus, travail résistant, négatif — le frottement, toujours.

Le travail du poids mérite une place à part :

positif à la descente, négatif à la montée, où $h$ est la dénivellation verticale. Le chemin suivi n'intervient pas : monter par un escalier ou par une rampe coûte le même travail au poids. Une force dont le travail ne dépend que des positions de départ et d'arrivée est dite conservative, et c'est à ces forces seulement qu'on peut associer une énergie potentielle.

La puissance est le débit du travail : $\mathcal{P} = W / \Delta t$, en watts, ou $\mathcal{P} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ pour la puissance instantanée.

Le théorème de l'énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un solide en translation vaut $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$, et le théorème s'énonce ainsi : dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures.

Une équation scalaire, sans projection ni repère : c'est là tout son intérêt. Elle donne une vitesse en une ligne là où les équations horaires en demandent cinq — à condition que le temps ne figure ni dans les données ni dans la question.

Le mot toutes est le piège de l'énoncé. Oublier le travail résistant du frottement donne une vitesse trop grande, et l'erreur ne se voit pas dans le résultat.

Énergies potentielles et énergie mécanique

À chaque force conservative correspond une énergie potentielle, définie à une constante près — d'où l'obligation de choisir une origine et de l'annoncer.

L'énergie mécanique est leur somme avec l'énergie cinétique :

Elle se conserve lorsque les seules forces qui travaillent sont conservatives. Sinon, sa variation est égale au travail des forces non conservatives :

C'est la formulation la plus utile de tout le chapitre pour les exercices avec frottement : elle donne directement l'énergie dissipée, sans qu'on ait à connaître le détail de la trajectoire.

L'oscillateur harmonique

Un pendule élastique : un solide de masse $m$ accroché à un ressort de raideur $k$, glissant sans frottement sur un plan horizontal. On repère sa position par l'écart $x$ à la position d'équilibre.

La seule force horizontale est la tension du ressort, $F = -kx$ — le signe négatif dit l'essentiel : elle est toujours dirigée vers la position d'équilibre, c'est une force de rappel. Le théorème du centre d'inertie projeté donne

C'est l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ rencontrée en mathématiques, dont les solutions sont

$X_m$ est l'amplitude et $\varphi$ la phase à l'origine : deux constantes fixées par les conditions initiales, position et vitesse à $t = 0$. La période propre s'en déduit :

Trois remarques que l'énoncé teste régulièrement. La période ne dépend pas de l'amplitude — c'est l'isochronisme des oscillations, et c'est ce qui rend un oscillateur utilisable comme horloge. Elle ne dépend pas non plus des conditions initiales. Et elle croît avec la masse mais décroît avec la raideur, ce qui se contrôle par le bon sens : une masse lourde sur un ressort mou oscille lentement.

Énergétiquement, l'oscillateur échange en permanence énergie cinétique et énergie potentielle élastique, à somme constante :

La dernière égalité s'obtient en se plaçant aux élongations extrêmes, où la vitesse est nulle. Elle donne la vitesse maximale sans aucune dérivation : au passage par l'équilibre, toute l'énergie est cinétique, donc $v_{\max} = X_m\sqrt{k/m} = \omega_0 X_m$.

Le pendule simple

Une masse ponctuelle au bout d'un fil inextensible de longueur $L$ et de masse négligeable. Pour de petites oscillations — l'approximation $\sin\theta \approx \theta$, valable en radians jusqu'à une dizaine de degrés — l'équation prend la même forme que précédemment :

La masse a disparu, encore. Deux pendules de même longueur battent la même seconde, qu'ils portent une bille de plomb ou de liège.

Cette formule s'inverse en

et c'est le TP à préserver quand le matériel manque : un fil, une masse, un mètre et un chronomètre suffisent à mesurer l'intensité de la pesanteur à quelques pour cent près. Le protocole impose de chronométrer 20 oscillations plutôt qu'une seule — le retard de réaction est alors divisé par vingt, et l'exercice ci-dessous en donne la mesure chiffrée.

À vous

// Le TP de référence : on mesure la durée de 20 oscillations
// d'un pendule simple, pour plusieurs longueurs, et on en déduit g.
const mesures = [
  { L: 0.20, t20: 17.9 },
  { L: 0.40, t20: 25.4 },
  { L: 0.60, t20: 31.1 },
  { L: 0.80, t20: 35.9 },
  { L: 1.00, t20: 40.1 },
];

// 1. La période propre, puis g tiré de T = 2*pi*sqrt(L/g).
const periode = (m) => 0;   // à corriger
const gMesure = (m) => 0;   // à corriger

for (const m of mesures) {
  console.log(m.L, periode(m).toFixed(3), gMesure(m).toFixed(2));
}

// attendu, dernière colonne : autour de 9.8 pour chaque ligne

// 2. Pourquoi chronométrer 20 oscillations plutôt qu'une seule ?
//    Simulez une erreur de réaction de 0.2 s sur le chronomètre
//    et comparez l'erreur commise sur g dans les deux cas.

Un exercice de bac

À retenir