Physique · C2 Électromagnétisme · Chapitre 1 · 8 h

Champ magnétique et force de Laplace

Sources et spectres du champ magnétique, force de Laplace, applications aux rails et au moteur.

Un champ magnétique ne se voit pas, ne pèse rien, et n'agit sur rien de ce qui est immobile. Il ne se manifeste qu'en présence d'une charge en mouvement — un courant dans un fil, un électron lancé dans le vide. C'est ce qui le rend abstrait, et c'est aussi ce qui l'explique : un champ magnétique est ce que voit une charge quand une autre charge se déplace.

Le chapitre installe deux choses : d'où vient le champ, et ce qu'il fait à un conducteur parcouru par un courant.

Le vecteur champ magnétique

En chaque point de l'espace, $\vec{B}$ possède une direction, un sens et une valeur, mesurée en teslas (T). Une aiguille aimantée placée en un point s'oriente selon $\vec{B}$ , son pôle nord indiquant le sens.

Les ordres de grandeur méritent d'être connus, ne serait-ce que pour repérer un résultat aberrant :

Source	Valeur de $B$
Champ magnétique terrestre	$\approx 5 \times 10^{-5}$ T
Aimant droit usuel, au contact	$10^{-2}$ à $10^{-1}$ T
Électroaimant de laboratoire	$1$ T
Appareil d'IRM	$1$ à $3$ T

Un exercice qui produit $B = 500$ T contient une erreur, quelle que soit l'élégance du calcul qui y mène.

Les lignes de champ sont les courbes tangentes en tout point à $\vec{B}$ . Elles sortent du pôle nord d'un aimant et y rentrent par le sud, se referment toujours sur elles-mêmes, et ne se croisent jamais — un point ne peut pas avoir deux directions de champ. Là où elles se resserrent, le champ est intense. Un champ est uniforme dans une région où ces lignes sont parallèles et régulièrement espacées : c'est le cas à l'intérieur d'un solénoïde, et c'est ce qui rend cette géométrie omniprésente en exercice.

Les champs créés par des courants

Trois géométries sont au programme, et une seule règle d'orientation.

Le fil rectiligne infini. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil, dans des plans perpendiculaires à lui.

B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r} \qquad\text{avec}\qquad \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{S.I.}

Le solénoïde, long devant son diamètre. Le champ y est uniforme à l'intérieur, quasi nul à l'extérieur :

B = \mu_0\,n\,I = \mu_0\,\frac{N}{\ell}\,I

Le point à ne pas manquer : $n$ est le nombre de spires par mètre. Deux solénoïdes de longueurs différentes mais de même densité de spires produisent le même champ, et doubler à la fois $N$ et $\ell$ ne change rien.

La bobine plate de $N$ spires de rayon $R$ , en son centre : $B = \mu_0 N I / (2R)$ .

L'orientation se retrouve dans les trois cas par la règle du tire-bouchon : on tourne le tire-bouchon dans le sens du courant, il avance dans le sens du champ. Pour un fil on tourne autour du fil ; pour une bobine on tourne dans le sens des spires, et $\vec{B}$ sort par la face nord.

Quiz · 1 question

On double le nombre de spires d'un solénoïde ET sa longueur, à courant constant. Que devient le champ à l'intérieur ?

Il double — proportionnel à N
Il est inchangé — inchangé
Il est divisé par deux — dilué

Réponse : B = μ₀nI ne dépend que de la densité linéique n = N/ℓ. Doubler N et ℓ laisse ce rapport identique. C'est le contrôle qui distingue ceux qui ont compris la formule de ceux qui l'ont recopiée.

La force de Laplace

Un conducteur de longueur $\ell$ , parcouru par un courant $I$ , placé dans un champ $\vec{B}$ , subit la force

\vec{F} = I\,\vec{\ell} \wedge \vec{B} \qquad\text{de norme}\qquad F = B\,I\,\ell\,\sin\theta

où $\vec{\ell}$ est orienté dans le sens du courant et $\theta$ est l'angle entre le conducteur et le champ.

C'est encore un produit vectoriel, donc encore un trièdre à dessiner. La force est perpendiculaire à la fois au conducteur et au champ, et son sens s'obtient par la règle des trois doigts de la main droite : le pouce dans le sens du courant, l'index dans celui du champ, le majeur donne la force.

Deux conséquences du sinus, et elles se contrôlent l'une par l'autre :

conducteur perpendiculaire au champ : $\sin\theta = 1$ , force maximale $F = BI\ell$ ;
conducteur parallèle au champ : $\sin\theta = 0$ , force nulle.

Ce second cas est le meilleur test d'une expression : un fil placé le long des lignes de champ ne subit rien, et une formule qui prédirait le contraire est fausse.

Le lien avec la force de Lorentz

La force de Laplace n'est pas une force nouvelle. Le courant est un déplacement de porteurs de charge, chacun subissant $q\vec{v} \wedge \vec{B}$ ; la force de Laplace est la somme de ces forces élémentaires, transmise au conducteur par les chocs des porteurs sur le réseau cristallin.

Cela explique un fait autrement mystérieux : pourquoi le fil, globalement neutre, est-il poussé ? Parce que ce sont ses électrons qui sont déviés, et qu'ils entraînent le métal avec eux.

Trois applications

Les rails de Laplace. Une barre conductrice mobile posée sur deux rails horizontaux, dans un champ vertical. Le courant traverse la barre, la force de Laplace la met en mouvement. Le dispositif est simple, quantifiable, et c'est le sujet d'exercice le plus fréquent du chapitre — il combine la force de Laplace avec le théorème du centre d'inertie du chapitre 2.

Le moteur à courant continu. Un cadre parcouru par un courant, dans un champ : les deux côtés perpendiculaires au champ subissent des forces opposées, qui ne se compensent pas en moment. Le cadre tourne. Le collecteur inverse le courant à chaque demi-tour, sans quoi le cadre oscillerait autour de sa position d'équilibre au lieu de tourner.

Le haut-parleur. Une bobine mobile dans l'entrefer d'un aimant permanent : le courant audio y crée une force de Laplace variable, la membrane suit, l'air est mis en mouvement.

Quiz · 1 question

Un fil rectiligne est placé PARALLÈLEMENT aux lignes d'un champ magnétique uniforme et parcouru par un courant. Quelle force subit-il ?

Une force maximale, égale à BIℓ — maximale
Aucune force — nulle
Une force dirigée le long du fil — longitudinale

Réponse : F = BIℓ·sin θ avec θ = 0 : la force est nulle. Un produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul, et la force de Laplace ne peut jamais être dirigée le long du conducteur puisqu'elle lui est perpendiculaire par construction.

À vous

Exercice de code

Calculez le champ d'un solénoïde puis la force de Laplace, et découvrez ce qui arrive à un conducteur placé le long des lignes de champ.

Point de départ

// Un solénoïde de 40 cm de long comporte 800 spires et est
// parcouru par un courant I. À l'intérieur, une barre conductrice
// de longueur L, perpendiculaire au champ, porte un courant i.
const MU0 = 4 * Math.PI * 1e-7;

// 1. Le champ à l'intérieur du solénoïde ne dépend que du nombre
//    de spires PAR MÈTRE, jamais de la longueur seule.
const champSolenoide = (N, longueur, I) => 0;  // à corriger

// 2. La force de Laplace sur une portion de conducteur.
//    theta est l'angle entre le conducteur et le champ.
const laplace = (B, i, L, theta) => 0;         // à corriger

const B = champSolenoide(800, 0.40, 2.5);
console.log(B.toExponential(2));               // attendu : 6.28e-3

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(90)).toExponential(2)); // 2.51e-3
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(30)).toExponential(2)); // ?
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(0)).toExponential(2));  // ?

// 3. Que devient le champ si l'on double à la fois le nombre de
//    spires ET la longueur du solénoïde ?

Solution

const MU0 = 4 * Math.PI * 1e-7;

// B = mu0 * n * I, où n = N/longueur est la densité linéique de
// spires. C'est la seule formule du chapitre où la géométrie se
// résume à un rapport.
const champSolenoide = (N, longueur, I) => (MU0 * N * I) / longueur;

// F = B * i * L * sin(theta). Le sinus vient du produit vectoriel :
// la force est maximale quand le conducteur est perpendiculaire au
// champ, et NULLE quand il lui est parallèle.
const laplace = (B, i, L, theta) => B * i * L * Math.sin(theta);

const B = champSolenoide(800, 0.40, 2.5);
console.log(B.toExponential(2));               // 6.28e-3 T

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(90)).toExponential(2)); // 2.51e-3 N
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(30)).toExponential(2)); // 1.26e-3 N
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(0)).toExponential(2));  // 0.00e+0 N

// Un conducteur placé LE LONG des lignes de champ ne subit aucune
// force. C'est le contrôle qui distingue une erreur de sinus d'une
// erreur de cosinus, sans avoir à retenir laquelle va où.

// Doubler N et la longueur laisse n = N/longueur inchangé, donc B
// aussi : deux solénoïdes de tailles différentes mais de même
// densité de spires produisent le même champ.
console.log(champSolenoide(1600, 0.80, 2.5).toExponential(2));  // 6.28e-3

Un exercice de bac

Exercice 1

Rails de Laplace

Une barre conductrice $MN$ de masse $m = 20$ g et de longueur $\ell = 12$ cm repose sur deux rails horizontaux parallèles, distants de $\ell$ , dans un champ magnétique vertical $B = 0{,}25$ T. Un générateur y fait circuler un courant $I = 3{,}0$ A. Les frottements sont équivalents à une force constante $f = 0{,}05$ N opposée au mouvement.

Déterminer la direction et le sens de la force de Laplace.
Calculer son intensité, puis l'accélération de la barre.
Quelle intensité minimale faut-il pour que la barre démarre ?

Correction

1. Le champ est vertical, la barre horizontale : ils sont perpendiculaires. La force de Laplace, perpendiculaire aux deux, est donc horizontale et perpendiculaire à la barre — elle la pousse le long des rails. Son sens se lit sur le trièdre : pouce dans le sens du courant $M \to N$ , index vers le haut, le majeur donne le sens du déplacement.

2. L'angle valant $90°$ :

F = B\,I\,\ell = 0{,}25 \times 3{,}0 \times 0{,}12 = 9{,}0 \times 10^{-2}\ \text{N}

Système : la barre. Sur l'axe horizontal du mouvement, le poids et la réaction des rails ne travaillent pas et se compensent verticalement. Il reste la force de Laplace et le frottement :

F - f = m\,a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{9{,}0 \times 10^{-2} - 5{,}0 \times 10^{-2}}{0{,}020} = 2{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}

3. La barre démarre lorsque la force de Laplace dépasse le frottement :

B\,I_{\min}\,\ell = f \quad\Longrightarrow\quad I_{\min} = \frac{0{,}05}{0{,}25 \times 0{,}12} \approx 1{,}7\ \text{A}

En deçà de $1{,}7$ A, le courant circule mais rien ne bouge : la force existe, elle est simplement insuffisante. C'est la distinction que l'énoncé teste — une force nulle et une force compensée ne sont pas la même chose.

À retenir

Flashcards · 6 cartes

Sur quoi un champ magnétique agit-il ?: Uniquement sur des charges EN MOUVEMENT : un courant, une particule lancée. Une charge immobile dans un champ magnétique ne subit rien.
Que vaut le champ à l'intérieur d'un solénoïde ?: B = μ₀nI, où n = N/ℓ est le nombre de spires PAR MÈTRE. Deux solénoïdes de longueurs différentes mais de même densité de spires produisent le même champ.
Quelle est l'expression de la force de Laplace ?: F = I·ℓ∧B, de norme BIℓ·sin θ. Elle est perpendiculaire au conducteur ET au champ : le trièdre se dessine avant tout calcul.
Que subit un fil placé le long des lignes de champ ?: Rien : sin 0 = 0. C'est le meilleur contrôle d'une expression de force de Laplace, et il ne demande aucun calcul.
Force de Laplace et force de Lorentz : quel rapport ?: La première est la SOMME des secondes. Ce sont les porteurs de charge qui sont déviés, et ils entraînent le conducteur — d'où le mouvement d'un fil pourtant électriquement neutre.
Pourquoi un moteur à courant continu a-t-il besoin d'un collecteur ?: Pour inverser le courant à chaque demi-tour. Sans lui, le cadre oscillerait autour de sa position d'équilibre au lieu de tourner continûment.