Sujets types — Complexes et géométrie

Le bloc de géométrie a une particularité : chaque question peut se traiter de plusieurs façons — par les complexes, par les vecteurs, par la trigonométrie. Le sujet ne dit jamais laquelle choisir, et c'est ce choix qui décide de la longueur de la copie.

La règle qui guide : on calcule avec l'outil dans lequel l'énoncé est écrit. Un énoncé en affixes se traite en complexes ; un énoncé en coordonnées de l'espace, en produit scalaire.

Sujet 1 — Configuration du plan complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On donne $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives $a = 1 + i$, $b = 4 + 2i$, $c = 2 + 4i$.

1. Calculer $\dfrac{c-a}{b-a}$.
2. En déduire la nature du triangle $ABC$.

Question 1. $c - a = 1 + 3i$ et $b - a = 3 + i$. On multiplie par le conjugué du dénominateur :

Question 2. Le quotient a pour module $\lvert 3+4i \rvert / 5 = 5/5 = 1$. Or

donc $AC = AB$ : le triangle est isocèle en $A$.

Le quotient n'étant ni réel ni imaginaire pur, les points ne sont ni alignés ni le triangle rectangle en $A$. La réponse complète est donc « isocèle non rectangle en $A$ ».

Ce sujet illustre la méthode générale : un seul quotient d'affixes contient à la fois une information de longueur — son module — et une information d'angle — son argument. On le calcule une fois, on le lit deux fois.

Sujet 2 — Une similitude

Soit $s$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe $M'$ d'affixe $z' = (1+i)z + 2 - 2i$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $s$.
2. Déterminer l'image du cercle de centre $O$ et de rayon 1.

Question 1. On a $a = 1+i$ et $b = 2-2i$. Comme $a \neq 1$, il y a un centre :

Le rapport est $\lvert 1+i \rvert = \sqrt{2}$ et l'angle $\arg(1+i) = \pi/4$.

$s$ est donc la similitude directe de centre $\Omega(2+2i)$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\pi/4$.

Question 2. Une similitude de rapport $r$ transforme un cercle en cercle de rayon multiplié par $r$, centré sur l'image du centre. L'image de $O$ est $s(0) = 2 - 2i$. L'image du cercle est donc le cercle de centre d'affixe $2-2i$ et de rayon $\sqrt{2}$.

Aucun calcul point par point n'est nécessaire : les propriétés de conservation font tout le travail. C'est précisément à cela qu'elles servent.

Sujet 3 — Droite et plan de l'espace

Dans un repère orthonormé, on donne le plan $\mathcal{P}: 2x - y + z - 3 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(1;0;1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1;2;0)$.

1. Étudier la position relative de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$.
2. Calculer la distance de $A$ à $\mathcal{P}$.

Question 1. Représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ : $x = 1+t$, $y = 2t$, $z = 1$. On reporte dans l'équation du plan :

Les termes en $t$ se compensent et la constante s'annule : l'équation est vérifiée pour tout $t$, donc la droite est contenue dans le plan.

Un raccourci existe et vaut d'être vu : $\vec{u}\cdot\vec{n} = 2 - 2 + 0 = 0$, donc la droite est parallèle au plan. Reste à savoir si elle y est incluse, ce qu'un seul point tranche — $A$ vérifie l'équation, donc elle l'est. Deux lignes au lieu d'un système.

Question 2. Puisque $A$ appartient au plan, la distance est nulle. La question n'était pas un piège gratuit : elle vérifie qu'on a bien compris la conclusion précédente, et une réponse numérique non nulle signalerait une contradiction avec la question 1.

Sujet 4 — Reconnaître une conique

Étudier la nature de la courbe d'équation $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$.

On regroupe les carrés, variable par variable :

On divise par 36 pour ramener le second membre à 1 :

Deux signes plus, dénominateurs différents : c'est une ellipse de centre $\Omega(2;-1)$. Le plus grand dénominateur est 9, donc $a = 3$ le long de l'axe vertical, et $b = 2$. Alors $c^2 = 9 - 4 = 5$, les foyers sont sur la verticale passant par $\Omega$, à distance $\sqrt{5}$, et $e = \sqrt{5}/3 \approx 0{,}745$.

Le grand axe est vertical parce que le plus grand dénominateur accompagne $y$ : c'est le détail que la mise sous forme réduite rend lisible, et qu'on lit à l'envers si on se contente de l'équation développée.

QCM du bloc

Les gestes du bloc

À retenir