Mathématiques · C3 Nombres complexes et géométrie · Chapitre 5 · 5 h

Sujets types — Complexes et géométrie

Exercices de bac : lieux géométriques, similitudes, géométrie analytique de l'espace.

Le bloc de géométrie a une particularité : chaque question peut se traiter de plusieurs façons — par les complexes, par les vecteurs, par la trigonométrie. Le sujet ne dit jamais laquelle choisir, et c'est ce choix qui décide de la longueur de la copie.

La règle qui guide : on calcule avec l'outil dans lequel l'énoncé est écrit. Un énoncé en affixes se traite en complexes ; un énoncé en coordonnées de l'espace, en produit scalaire.

Sujet 1 — Configuration du plan complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On donne $A$ , $B$ , $C$ d'affixes respectives $a = 1 + i$ , $b = 4 + 2i$ , $c = 2 + 4i$ .

Calculer $\dfrac{c-a}{b-a}$ .

En déduire la nature du triangle $ABC$ .

Question 1. $c - a = 1 + 3i$ et $b - a = 3 + i$ . On multiplie par le conjugué du dénominateur :

\frac{1+3i}{3+i} = \frac{(1+3i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{3 - i + 9i - 3i^2}{9+1} = \frac{6 + 8i}{10} = \frac{3+4i}{5}

Question 2. Le quotient a pour module $\lvert 3+4i \rvert / 5 = 5/5 = 1$ . Or

\left\lvert \frac{c-a}{b-a} \right\rvert = \frac{AC}{AB}

donc $AC = AB$ : le triangle est isocèle en $A$ .

Le quotient n'étant ni réel ni imaginaire pur, les points ne sont ni alignés ni le triangle rectangle en $A$ . La réponse complète est donc « isocèle non rectangle en $A$ ».

Ce sujet illustre la méthode générale : un seul quotient d'affixes contient à la fois une information de longueur — son module — et une information d'angle — son argument. On le calcule une fois, on le lit deux fois.

Quiz · 1 question

Le quotient (c − a)/(b − a) est un imaginaire pur non nul. Que peut-on dire du triangle ABC ?

Il est isocèle en A — module 1
Il est rectangle en A — argument ±π/2
Les points sont alignés — argument 0

Réponse : L'argument du quotient est l'angle entre les vecteurs AB et AC. Un imaginaire pur a pour argument ±π/2 : l'angle en A est droit. Un quotient RÉEL signifierait un angle nul ou plat, donc l'alignement.

Sujet 2 — Une similitude

Soit $s$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe $M'$ d'affixe $z' = (1+i)z + 2 - 2i$ .

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $s$ .

Déterminer l'image du cercle de centre $O$ et de rayon 1.

Question 1. On a $a = 1+i$ et $b = 2-2i$ . Comme $a \neq 1$ , il y a un centre :

\omega = \frac{b}{1-a} = \frac{2-2i}{1-(1+i)} = \frac{2-2i}{-i} = \frac{(2-2i)\cdot i}{-i \cdot i} = \frac{2i+2}{1} = 2 + 2i

Le rapport est $\lvert 1+i \rvert = \sqrt{2}$ et l'angle $\arg(1+i) = \pi/4$ .

$s$ est donc la similitude directe de centre $\Omega(2+2i)$ , de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\pi/4$ .

Question 2. Une similitude de rapport $r$ transforme un cercle en cercle de rayon multiplié par $r$ , centré sur l'image du centre. L'image de $O$ est $s(0) = 2 - 2i$ . L'image du cercle est donc le cercle de centre d'affixe $2-2i$ et de rayon $\sqrt{2}$ .

Aucun calcul point par point n'est nécessaire : les propriétés de conservation font tout le travail. C'est précisément à cela qu'elles servent.

Sujet 3 — Droite et plan de l'espace

Dans un repère orthonormé, on donne le plan $\mathcal{P}: 2x - y + z - 3 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(1;0;1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1;2;0)$ .

Étudier la position relative de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ .

Calculer la distance de $A$ à $\mathcal{P}$ .

Question 1. Représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ : $x = 1+t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ . On reporte dans l'équation du plan :

2(1+t) - 2t + 1 - 3 = 2 + 2t - 2t + 1 - 3 = 0

Les termes en $t$ se compensent et la constante s'annule : l'équation est vérifiée pour tout $t$ , donc la droite est contenue dans le plan.

Un raccourci existe et vaut d'être vu : $\vec{u}\cdot\vec{n} = 2 - 2 + 0 = 0$ , donc la droite est parallèle au plan. Reste à savoir si elle y est incluse, ce qu'un seul point tranche — $A$ vérifie l'équation, donc elle l'est. Deux lignes au lieu d'un système.

Question 2. Puisque $A$ appartient au plan, la distance est nulle. La question n'était pas un piège gratuit : elle vérifie qu'on a bien compris la conclusion précédente, et une réponse numérique non nulle signalerait une contradiction avec la question 1.

Quiz · 1 question

Le produit scalaire du vecteur directeur d'une droite et du vecteur normal d'un plan est nul. Que conclure ?

La droite est perpendiculaire au plan — perpendiculaire
La droite est parallèle au plan, incluse ou non — parallèle
La droite coupe le plan en un point — sécante

Réponse : Le vecteur directeur est orthogonal à la normale, donc parallèle au plan. Reste à distinguer « incluse » de « strictement parallèle », ce qu'un seul point tranche. La perpendicularité correspondrait au cas où u et n sont COLINÉAIRES.

Sujet 4 — Reconnaître une conique

Étudier la nature de la courbe d'équation $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$ .

On regroupe les carrés, variable par variable :

9(x^2 - 4x) + 4(y^2 + 2y) + 4 = 0

9\left[(x-2)^2 - 4\right] + 4\left[(y+1)^2 - 1\right] + 4 = 0

9(x-2)^2 + 4(y+1)^2 = 36

On divise par 36 pour ramener le second membre à 1 :

\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1

Deux signes plus, dénominateurs différents : c'est une ellipse de centre $\Omega(2;-1)$ . Le plus grand dénominateur est 9, donc $a = 3$ le long de l'axe vertical, et $b = 2$ . Alors $c^2 = 9 - 4 = 5$ , les foyers sont sur la verticale passant par $\Omega$ , à distance $\sqrt{5}$ , et $e = \sqrt{5}/3 \approx 0{,}745$ .

Le grand axe est vertical parce que le plus grand dénominateur accompagne $y$ : c'est le détail que la mise sous forme réduite rend lisible, et qu'on lit à l'envers si on se contente de l'équation développée.

QCM du bloc

QCM de bloc · 6 questions

Bloc III — Complexes et géométrie

1. Quel est le module de (1 + i)⁸ ?

8
16
2√2

Réponse : |1 + i| = √2, et le module d'une puissance est la puissance du module : (√2)⁸ = 2⁴ = 16. Passer par le développement algébrique serait huit produits ; la forme trigonométrique donne le résultat en une ligne.

2. L'ensemble des points M tels que |z − 1| = |z + 3i| est :

Un cercle de centre 1
La médiatrice du segment joignant les points d'affixes 1 et −3i
L'ensemble vide

Réponse : |z − z_A| = |z − z_B| traduit AM = BM : c'est la médiatrice de [AB]. Ici z_A = 1 et z_B = −3i, l'affixe étant ce qu'on soustrait. Un cercle correspondrait à |z − z_A| = r, avec un rayon constant à droite.

3. Quelle est la nature de z' = −z + 4 ?

Une translation de vecteur d'affixe 4
Une rotation d'angle π, c'est-à-dire une symétrie centrale de centre d'affixe 2
Une homothétie de rapport −1 et de centre O

Réponse : a = −1 : module 1 donc rotation, argument π donc demi-tour. Le centre est ω = 4/(1 − (−1)) = 2. Une symétrie centrale est bien une rotation d'angle π, et son centre n'est PAS l'origine ici — c'est le point fixe qu'il faut calculer.

4. Les plans d'équations x + 2y − z = 1 et 2x + 4y − 2z = 7 sont :

Sécants selon une droite
Strictement parallèles
Confondus

Réponse : Les normales (1;2;−1) et (2;4;−2) sont colinéaires : les plans sont parallèles. Ils ne sont pas confondus, car en multipliant la première équation par 2 on obtient 2x + 4y − 2z = 2, différent de 7. Il faut vérifier les DEUX conditions.

5. Trois vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires. Vrai ou faux ?

Vrai, comme trois vecteurs du plan
Faux : c'est une condition, pas une propriété
Vrai seulement s'ils sont deux à deux non colinéaires

Réponse : Dans le plan, trois vecteurs sont nécessairement liés. Dans l'espace, non : trois vecteurs peuvent engendrer tout l'espace. La coplanarité devient une condition à démontrer, en cherchant une combinaison linéaire.

6. Une conique d'excentricité 1,6 est :

Une ellipse très allongée
Une hyperbole
Impossible : e est toujours entre 0 et 1

Réponse : e > 1 caractérise l'hyperbole. Une ellipse a e < 1 quelle que soit son allongement, et tend vers 1 sans l'atteindre. L'excentricité n'est bornée que par le bas.

Les gestes du bloc

L'énoncé donne…	Le geste
des affixes et une question de nature de triangle	calculer un quotient, lire module et argument
$z' = az + b$	comparer $a$ à 1, puis module, argument, point fixe
un plan et une droite de l'espace	tester $\vec{u}\cdot\vec{n}$ , puis un point
deux plans	comparer les normales, puis vérifier un point
une équation du second degré en $x$ et $y$	regrouper les carrés, ramener à 1, lire les signes

À retenir

Flashcards · 4 cartes

Que contient le quotient (z_C − z_A)/(z_B − z_A) ?: Son module donne AC/AB, son argument l'angle en A. Un seul calcul, deux informations — c'est la méthode de toutes les questions de configuration.
Comment obtenir l'image d'un cercle par une similitude ?: Sans calcul point par point : le centre est l'image du centre, le rayon est multiplié par le rapport.
Droite et plan : quel test rapide avant tout système ?: Le produit scalaire u·n. S'il est nul, la droite est parallèle au plan, et un seul point dit si elle y est incluse.
Comment reconnaître une conique dans une équation développée ?: Regrouper les carrés, ramener le second membre à 1, puis lire les signes : deux plus donnent une ellipse, un plus et un moins une hyperbole.