Probabilités

Les probabilités mesurent l'incertitude avec les outils du dénombrement. La difficulté du chapitre n'est presque jamais calculatoire : elle est de traduire un énoncé en français dans le langage des événements, et de savoir quelle probabilité on cherche.

Vocabulaire

Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles, l'univers $\Omega$. Un événement est une partie de $\Omega$.

En situation d'équiprobabilité — dés équilibrés, tirages au hasard —

et le calcul redevient du dénombrement : les formules du bloc I servent directement.

Le terme soustrait n'est nécessaire que si les événements ne sont pas incompatibles. Comme en dénombrement, un énoncé en « au moins un » se traite par le complémentaire.

Probabilité conditionnelle

$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ». On restreint l'univers à $A$, et l'on mesure la part de $B$ à l'intérieur.

La formule s'emploie surtout retournée, sous le nom de probabilités composées :

C'est la règle de lecture d'un arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin. L'arbre est l'outil le plus sûr du chapitre, et le dessiner avant tout calcul évite la plupart des erreurs.

Formule des probabilités totales

Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers — deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$ :

Sur un arbre : on additionne les branches qui aboutissent à $B$. La partition la plus fréquente est la plus simple, $\{A, \bar A\}$.

Formule de Bayes

Elle retourne le conditionnement : on connaît la probabilité de l'effet sachant la cause, on veut celle de la cause sachant l'effet. C'est la situation de tout diagnostic — on observe un test positif, on cherche la probabilité de la maladie.

Le résultat est régulièrement contre-intuitif, et pour une raison de proportions : quand la maladie est rare, les faux positifs issus d'une population saine très nombreuse peuvent dépasser les vrais positifs. La qualité du test ne suffit pas à conclure ; la prévalence compte autant.

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si

L'indépendance ne se devine pas, elle se vérifie ou se déclare par l'énoncé — « les tirages sont effectués avec remise », « les lancers sont indépendants ». La supposer sans justification est une faute, et l'intuition trompe souvent.

Attention à ne pas confondre avec l'incompatibilité : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$.

Variables aléatoires

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque résultat. Sa loi est la donnée des $P(X = x_i)$, dont la somme vaut 1 — vérification qui détecte la plupart des erreurs de loi.

L'espérance est la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions. Un jeu est dit équitable si $E(X) = 0$ — c'est la question posée dans presque tous les exercices de jeu.

L'écart type mesure la dispersion autour de l'espérance ; il s'exprime dans la même unité que $X$, contrairement à la variance.

Loi binomiale

Le cadre : $n$ épreuves de Bernoulli — deux issues, succès de probabilité $p$ — identiques et indépendantes. $X$ compte les succès. Alors

La formule se lit directement : $p^k$ pour les $k$ succès, $(1-p)^{n-k}$ pour les échecs, et $\binom{n}{k}$ pour les positions possibles des succès — le dénombrement du bloc I, exactement.

Les trois conditions ne sont pas décoratives. Un tirage sans remise n'est pas binomial : les épreuves ne sont plus indépendantes ni identiques. Vérifier le cadre avant d'appliquer la formule fait partie de la réponse.

À vous

// Un test de dépistage : 99 % de sensibilité, 98 % de spécificité,
// maladie touchant 0,5 % de la population.
// Un test positif : quelle probabilité d'être réellement malade ?

const P_MALADE = 0.005;
const SENSIBILITE = 0.99;   // P(+ | malade)
const SPECIFICITE = 0.98;   // P(− | sain)

// 1. Probabilités totales : P(+) = P(+|M)P(M) + P(+|S)P(S).
const pPositif = 0; // à corriger

// 2. Bayes : P(M|+) = P(+|M)P(M) / P(+).
const pMaladeSachantPositif = 0; // à corriger

console.log("P(+) =", pPositif.toFixed(5));
console.log("P(malade | +) =", (pMaladeSachantPositif * 100).toFixed(2), "%");

// 3. Loi binomiale : sur 1000 personnes saines testées, combien de faux
//    positifs en moyenne ? E(X) = n·p.
const fauxPositifsAttendus = 0; // à corriger
console.log("faux positifs attendus sur 1000 sains :", fauxPositifsAttendus);

À retenir