Mathématiques · C4 Arithmétique et probabilités · Chapitre 2 · 10 h

Probabilités

Modéliser une expérience aléatoire : conditionnement, indépendance, variable aléatoire, loi binomiale.

Les probabilités mesurent l'incertitude avec les outils du dénombrement. La difficulté du chapitre n'est presque jamais calculatoire : elle est de traduire un énoncé en français dans le langage des événements, et de savoir quelle probabilité on cherche.

Vocabulaire

Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles, l'univers $\Omega$ . Un événement est une partie de $\Omega$ .

En situation d'équiprobabilité — dés équilibrés, tirages au hasard —

P(A) = \frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}

et le calcul redevient du dénombrement : les formules du bloc I servent directement.

P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Le terme soustrait n'est nécessaire que si les événements ne sont pas incompatibles. Comme en dénombrement, un énoncé en « au moins un » se traite par le complémentaire.

Probabilité conditionnelle

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad (P(A) \neq 0)

$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ». On restreint l'univers à $A$ , et l'on mesure la part de $B$ à l'intérieur.

La formule s'emploie surtout retournée, sous le nom de probabilités composées :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

C'est la règle de lecture d'un arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin. L'arbre est l'outil le plus sûr du chapitre, et le dessiner avant tout calcul évite la plupart des erreurs.

Formule des probabilités totales

Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers — deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$ :

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)

Sur un arbre : on additionne les branches qui aboutissent à $B$ . La partition la plus fréquente est la plus simple, $\{A, \bar A\}$ .

Formule de Bayes

P_B(A) = \frac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}

Elle retourne le conditionnement : on connaît la probabilité de l'effet sachant la cause, on veut celle de la cause sachant l'effet. C'est la situation de tout diagnostic — on observe un test positif, on cherche la probabilité de la maladie.

Le résultat est régulièrement contre-intuitif, et pour une raison de proportions : quand la maladie est rare, les faux positifs issus d'une population saine très nombreuse peuvent dépasser les vrais positifs. La qualité du test ne suffit pas à conclure ; la prévalence compte autant.

Quiz · 1 question

P(A|B) et P(B|A) sont-elles égales ?

Oui, l'intersection est symétrique — symétrie
Non, sauf si P(A) = P(B) : les dénominateurs diffèrent — dénominateurs
Oui, si A et B sont indépendants — indépendance

Réponse : P(A∩B) est bien symétrique, mais on divise par P(B) dans un cas et par P(A) dans l'autre. Confondre les deux — « probabilité d'être malade sachant le test positif » et « probabilité d'un test positif sachant la maladie » — est l'erreur que la formule de Bayes existe pour corriger.

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \qquad\text{équivalent à}\qquad P_A(B) = P(B)

L'indépendance ne se devine pas, elle se vérifie ou se déclare par l'énoncé — « les tirages sont effectués avec remise », « les lancers sont indépendants ». La supposer sans justification est une faute, et l'intuition trompe souvent.

Attention à ne pas confondre avec l'incompatibilité : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$ .

Variables aléatoires

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque résultat. Sa loi est la donnée des $P(X = x_i)$ , dont la somme vaut 1 — vérification qui détecte la plupart des erreurs de loi.

E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) \qquad V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}

L'espérance est la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions. Un jeu est dit équitable si $E(X) = 0$ — c'est la question posée dans presque tous les exercices de jeu.

L'écart type mesure la dispersion autour de l'espérance ; il s'exprime dans la même unité que $X$ , contrairement à la variance.

Loi binomiale

Le cadre : $n$ épreuves de Bernoulli — deux issues, succès de probabilité $p$ — identiques et indépendantes. $X$ compte les succès. Alors

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)

La formule se lit directement : $p^k$ pour les $k$ succès, $(1-p)^{n-k}$ pour les échecs, et $\binom{n}{k}$ pour les positions possibles des succès — le dénombrement du bloc I, exactement.

Les trois conditions ne sont pas décoratives. Un tirage sans remise n'est pas binomial : les épreuves ne sont plus indépendantes ni identiques. Vérifier le cadre avant d'appliquer la formule fait partie de la réponse.

Quiz · 1 question

On tire 5 boules SANS remise dans une urne. Le nombre de boules rouges suit-il une loi binomiale ?

Oui, il y a deux issues à chaque tirage — deux issues
Non : sans remise, les tirages ne sont ni indépendants ni identiques — hypothèses
Oui, si l'urne contient au moins 5 boules — effectif

Réponse : Deux issues ne suffisent pas. La composition de l'urne change à chaque tirage : la probabilité de succès varie, et les épreuves dépendent des précédentes. Vérifier les trois conditions — mêmes épreuves, indépendantes, deux issues — précède toute application de la formule.

À vous

Exercice de code

Calculez la probabilité d'être malade sachant que le test est positif, puis le nombre de faux positifs attendus.

Point de départ

// Un test de dépistage : 99 % de sensibilité, 98 % de spécificité,
// maladie touchant 0,5 % de la population.
// Un test positif : quelle probabilité d'être réellement malade ?

const P_MALADE = 0.005;
const SENSIBILITE = 0.99;   // P(+ | malade)
const SPECIFICITE = 0.98;   // P(− | sain)

// 1. Probabilités totales : P(+) = P(+|M)P(M) + P(+|S)P(S).
const pPositif = 0; // à corriger

// 2. Bayes : P(M|+) = P(+|M)P(M) / P(+).
const pMaladeSachantPositif = 0; // à corriger

console.log("P(+) =", pPositif.toFixed(5));
console.log("P(malade | +) =", (pMaladeSachantPositif * 100).toFixed(2), "%");

// 3. Loi binomiale : sur 1000 personnes saines testées, combien de faux
//    positifs en moyenne ? E(X) = n·p.
const fauxPositifsAttendus = 0; // à corriger
console.log("faux positifs attendus sur 1000 sains :", fauxPositifsAttendus);

Solution

const P_MALADE = 0.005;
const SENSIBILITE = 0.99;
const SPECIFICITE = 0.98;

const P_SAIN = 1 - P_MALADE;
const FAUX_POSITIF = 1 - SPECIFICITE; // P(+ | sain) = 0,02

const pPositif = SENSIBILITE * P_MALADE + FAUX_POSITIF * P_SAIN;
const pMaladeSachantPositif = (SENSIBILITE * P_MALADE) / pPositif;

console.log("P(+) =", pPositif.toFixed(5));
console.log("P(malade | +) =", (pMaladeSachantPositif * 100).toFixed(2), "%"); // ≈ 19,92 %

// Un test à 99 % ne donne qu'une chance sur cinq d'être malade. La raison
// tient au nombre : 995 personnes saines produisent une vingtaine de faux
// positifs, contre à peine 5 vrais positifs. La prévalence écrase la qualité
// du test — c'est le résultat le plus contre-intuitif du chapitre.
const fauxPositifsAttendus = 1000 * FAUX_POSITIF;
console.log("faux positifs attendus sur 1000 sains :", fauxPositifsAttendus); // 20

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Comment se lit un arbre pondéré ?: On multiplie le long d'un chemin (probabilités composées), on additionne les chemins qui aboutissent au même événement (probabilités totales).
Que retourne la formule de Bayes ?: Le conditionnement : de P(effet | cause) vers P(cause | effet). C'est la formule du diagnostic, et son résultat surprend quand la maladie est rare.
Incompatibles et indépendants, est-ce la même chose ?: Non, et c'est même incompatible : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque P(A∩B) = 0.
Quelles conditions pour appliquer la loi binomiale ?: n épreuves à deux issues, identiques et indépendantes. Un tirage sans remise ne les vérifie pas — les vérifier fait partie de la réponse.
Que vaut l'espérance d'une loi binomiale ?: E(X) = np, et V(X) = np(1−p). Sur 1000 essais à 2 %, on attend 20 succès en moyenne.