Radioactivité et énergie nucléaire

Dernier chapitre du programme, et le seul où l'énergie mise en jeu ne vient ni du mouvement ni du champ, mais de la masse elle-même. Une réaction nucléaire libère un million de fois plus d'énergie qu'une réaction chimique de même masse, et la raison tient en une équation.

C'est aussi le chapitre où l'analyse de l'année trouve son application la plus directe : la décroissance radioactive est l'équation différentielle $y' = -\lambda y$, et rien d'autre.

Le noyau, et ce qui lui manque

Un noyau se note $^{A}_{Z}\mathrm{X}$, où $Z$ est le nombre de protons — le numéro atomique, qui identifie l'élément — et $A$ le nombre total de nucléons, protons et neutrons. Deux isotopes ont même $Z$ et des $A$ différents : chimiquement identiques, mais pas du tout équivalents du point de vue nucléaire.

La masse d'un noyau est inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris séparément. Cette différence est le défaut de masse :

Elle n'est pas une erreur de pesée : la masse manquante a été convertie en énergie lors de la formation du noyau, selon

C'est l'énergie de liaison — celle qu'il faudrait fournir pour disperser le noyau en nucléons libres. Rapportée au nombre de nucléons, $E_\ell/A$ mesure la stabilité : plus elle est grande, plus le noyau est solidement lié.

La courbe d'Aston, qui porte $E_\ell/A$ en fonction de $A$, présente un maximum autour du fer ($A \approx 56$). Elle explique à elle seule les deux voies de production d'énergie nucléaire : les noyaux légers gagnent à fusionner, les noyaux lourds gagnent à se briser, et tous deux se rapprochent ainsi du sommet.

Les désintégrations

Un noyau instable se transforme spontanément. Quatre modes, et deux lois de conservation qui suffisent à écrire toutes les équations : conservation du nombre de nucléons $A$, et conservation de la charge $Z$ — ce sont les lois de Soddy.

L'émission $\beta^-$ demande une explication, faute de quoi elle paraît absurde : le noyau ne contient pas d'électrons. C'est un neutron qui se transforme en proton, en émettant un électron. Le nombre de nucléons ne change donc pas, mais la charge augmente d'une unité.

Le rayonnement $\gamma$ n'est jamais seul : il accompagne les autres, le noyau-fils étant produit dans un état excité dont il retombe en émettant un photon très énergétique. C'est l'exact analogue de la transition atomique du chapitre précédent, à l'échelle du noyau et avec des énergies un million de fois plus grandes.

La loi de décroissance

La désintégration d'un noyau donné est imprévisible : on ne peut pas dire quand il se désintégrera. Mais sur un grand nombre de noyaux, le comportement statistique est parfaitement régulier — la probabilité de désintégration par unité de temps est une constante $\lambda$, propre au nucléide.

Le nombre de noyaux qui disparaissent pendant $dt$ est donc proportionnel au nombre présent :

C'est exactement l'équation différentielle étudiée en mathématiques, et sa solution est celle qu'on y a démontrée. Traiter ce chapitre avant l'exponentielle rend la loi inapprenable ; après, elle ne demande aucun effort nouveau.

La période radioactive $T$ — ou demi-vie — est le temps au bout duquel la moitié des noyaux ont disparu. En écrivant $N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T}$ :

Cette relation se redémontre en deux lignes ; l'apprendre par cœur est inutile et risqué.

L'activité est le nombre de désintégrations par seconde, en becquerels (Bq) :

Elle décroît selon la même loi que $N$, et lui est proportionnelle. C'est ce qui rend la datation possible : le rapport de deux activités est celui des nombres de noyaux, sans qu'on ait besoin de connaître ni l'un ni l'autre en valeur absolue.

Deux remarques que les exercices exploitent systématiquement. Après $n$ périodes, il reste $N_0/2^n$ noyaux : deux périodes ne font pas disparaître la totalité, mais les trois quarts. Et la décroissance n'a pas de fin — chaque période divise par deux sans jamais atteindre zéro, ce qui fixe la limite pratique des méthodes de datation.

Fission, fusion, et le bilan énergétique

La fission : un noyau lourd, frappé par un neutron, se brise en deux noyaux plus légers en libérant deux ou trois neutrons. Ceux-ci peuvent provoquer d'autres fissions — c'est la réaction en chaîne, contrôlée dans un réacteur par des barres absorbant l'excès de neutrons.

La fusion : deux noyaux légers s'assemblent. C'est la source d'énergie des étoiles, et elle libère davantage d'énergie par nucléon que la fission — mais elle exige des températures de plusieurs millions de degrés pour vaincre la répulsion électrique des noyaux.

Le bilan se calcule toujours de la même façon, et cette méthode vaut pour toute réaction nucléaire :

Une masse qui diminue signifie une énergie libérée. On exprime commodément les masses en unités de masse atomique, avec l'équivalence $1\ \mathrm{u} = 931{,}5$ MeV/$c^2$ : le calcul se fait alors sans jamais manipuler de joules.

À vous

// Le carbone 14 a une période radioactive T = 5730 ans.
// Un échantillon de bois prélevé sur un site archéologique a une
// activité de 9.5 désintégrations par minute et par gramme, contre
// 13.6 pour du bois vivant.
const T = 5730;

// 1. La constante radioactive, tirée de la période.
const lambda = 0;   // à corriger

// 2. La loi de décroissance, et son inverse : dater, c'est
//    résoudre N(t) = N0 * exp(-lambda*t) en t.
const restant = (t) => 0;     // fraction restante après t années
const age = (fraction) => 0;  // à corriger

console.log(lambda.toExponential(3));      // attendu : 1.210e-4
console.log(restant(5730).toFixed(3));     // 0.500 — une période
console.log(restant(11460).toFixed(3));    // ?
console.log(Math.round(age(9.5 / 13.6)));  // ?

// 3. Au bout de combien de périodes reste-t-il moins de 1 % ?

Un exercice de bac

À retenir