Phénomènes vibratoires et ondes mécaniques

Jusqu'ici, la physique de l'année décrivait des objets : un mobile, une particule, une barre. Ce chapitre change d'objet d'étude. Une onde n'est pas une chose, c'est une forme qui se déplace — et le milieu qu'elle traverse, lui, ne va nulle part.

Cette distinction paraît anodine et ne l'est pas : elle est à l'origine de presque toutes les erreurs du chapitre, et c'est elle qu'il faut installer avant les formules.

De l'oscillateur à l'onde

Un oscillateur réel n'entretient pas son mouvement. Les frottements dissipent son énergie et l'amplitude décroît : le régime est pseudo-périodique, avec une pseudo-période légèrement supérieure à la période propre, ou apériodique si l'amortissement est fort — le mobile revient alors à l'équilibre sans osciller.

Pour maintenir les oscillations, il faut un entretien : un dispositif qui fournit à chaque période l'énergie perdue. Si l'excitateur impose sa fréquence à un résonateur, l'amplitude devient maximale lorsque cette fréquence coïncide avec la fréquence propre — c'est la résonance mécanique, exact analogue de la résonance électrique du chapitre précédent, et la raison pour laquelle une troupe rompt le pas sur un pont.

Lorsqu'un tel oscillateur est couplé à un milieu — une corde, la surface de l'eau, l'air — il ne fait plus seulement vibrer : il émet une onde.

Onde progressive

Une onde progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu, sans transport de matière. La grandeur qui la caractérise est la célérité $v$, vitesse de propagation de la perturbation.

Trois faits que l'animation montre et qu'un énoncé écrit demande d'admettre :

La célérité ne dépend que du milieu. Pour une corde, $v = \sqrt{F/\mu}$ où $F$ est la tension et $\mu$ la masse linéique. Ni l'amplitude ni la fréquence de la source n'y figurent : secouer plus fort ne fait pas avancer l'onde plus vite.

Chaque point reproduit le mouvement de la source, en retard. Le point d'abscisse $x$ refait ce que la source a fait $\tau = x/v$ secondes plus tôt. D'où l'écriture de l'onde :

Le signe est le seul vrai choix du chapitre : une onde qui progresse vers les $x$ croissants transporte un retard, donc $t - x/v$ et non $t + x/v$.

Rien n'est transporté. Un flotteur sur l'eau monte et descend sans avancer. Une onde transporte de l'énergie et une information, jamais de la matière — c'est ce qui la distingue d'un courant, et ce qui explique qu'elle puisse traverser un milieu sans le déplacer.

On distingue enfin les ondes transversales, où la perturbation est perpendiculaire à la propagation (corde, surface de l'eau), des ondes longitudinales, où elle lui est parallèle (son dans l'air, ressort comprimé).

La double périodicité

Une onde périodique l'est deux fois, et c'est la particularité qui déroute.

Dans le temps : chaque point du milieu recommence son mouvement toutes les $T$ secondes. Dans l'espace : à un instant donné, la forme de la corde se répète tous les $\lambda$ mètres. La longueur d'onde $\lambda$ est la distance parcourue par l'onde pendant une période :

De là découle le critère qui servira dans tout le reste du programme, y compris pour la lumière :

• deux points distants de $d = k\lambda$ ($k$ entier) vibrent en phase ;
• deux points distants de $d = \left(k + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$ vibrent en opposition.

Ondes stationnaires : la corde de Melde

Lorsqu'une onde se réfléchit à l'extrémité fixe d'une corde, l'onde réfléchie se superpose à l'onde incidente. Le résultat n'avance plus : il oscille sur place, avec des points immobiles — les nœuds — et des points d'amplitude maximale — les ventres.

Le régime ne s'établit que si la corde contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde :

Une corde tendue ne vibre donc pas à n'importe quelle fréquence, mais seulement à une suite discrète de fréquences propres : le fondamental $f_1$ et ses harmoniques. C'est la raison physique pour laquelle un instrument à cordes émet des notes et non un continuum de sons, et pourquoi raccourcir la corde monte la note.

Interférences mécaniques

Deux sources $S_1$ et $S_2$ synchrones — même fréquence, déphasage constant — émettent dans une cuve à ondes. En un point $M$, les deux ondes arrivent avec des retards différents : tout se joue sur la différence de marche

L'ensemble des points d'un même type forme des courbes fixes : la figure d'interférence. Elle n'existe que si les sources sont cohérentes — deux sources indépendantes, dont le déphasage varierait au hasard, ne produiraient qu'un brouillage.

Ce raisonnement, établi ici sur des ondes à la surface de l'eau, se transposera tel quel à la lumière au chapitre suivant. C'est même sa seule justification : montrer que la lumière interfère, c'est montrer qu'elle est une onde.

À vous

// Une corde tendue est mise en vibration à la fréquence f par
// une lame vibrante. La perturbation se propage à la célérité v.
const f = 50, v = 20; // Hz et m/s

// 1. Longueur d'onde et période.
const lambda = 0;   // à corriger
const T = 0;        // à corriger

// 2. L'élongation d'un point d'abscisse x à la date t. Ce point
//    reproduit le mouvement de la source avec un RETARD x/v.
const Ym = 0.004;
const y = (x, t) => 0;  // à corriger

console.log(lambda, T);                 // attendu : 0.4 0.02
console.log(y(0, 0).toFixed(4));        // 0.0040
console.log(y(0.4, 0.02).toFixed(4));   // ?  un point distant d'une
                                        //    longueur d'onde, une
                                        //    période plus tard
// 3. Deux points de la corde vibrent-ils en phase ou en opposition ?
//    Testez x = 0 contre x = 0.2 m, puis contre x = 0.4 m.

Un exercice de bac

À retenir