Courant alternatif sinusoïdal

Le chapitre précédent a montré d'où vient le courant alternatif : une bobine qui tourne dans un champ produit une tension sinusoïdale, et rien d'autre. Reste à savoir comment un circuit y répond — et la réponse n'est pas celle du continu, parce qu'une bobine et un condensateur, qui ne font rien de particulier sous tension constante, deviennent ici des acteurs à part entière.

C'est aussi le chapitre le plus exigeant du programme sur le plan technique. Il réclame les nombres complexes ou, à défaut, la construction de Fresnel — et c'est elle qui coince chaque année. La raison est identifiable : on la présente comme une figure fixe, alors qu'elle n'a de sens que déformée.

Grandeurs sinusoïdales

Une tension alternative sinusoïdale s'écrit

avec $U_m$ l'amplitude, $\omega = 2\pi f$ la pulsation en rad/s, et $\varphi$ la phase à l'origine. La période vaut $T = 2\pi/\omega = 1/f$.

Les appareils de mesure n'indiquent ni l'amplitude ni la valeur moyenne — qui est nulle — mais la valeur efficace :

Sa définition est physique et mérite d'être connue : la valeur efficace d'un courant alternatif est l'intensité du courant continu qui dissiperait la même puissance dans la même résistance. C'est pourquoi les $230$ V du secteur sont une valeur efficace, l'amplitude réelle atteignant $325$ V.

Le comportement des trois dipôles

C'est le cœur du chapitre, et il tient en un tableau. Dans un circuit série, l'intensité est la même partout : on la prend comme référence des phases.

Les deux dernières lignes ne s'apprennent pas isolément : elles se déduisent des relations de définition. Dériver un cosinus donne un sinus, c'est-à-dire un quart de tour d'avance ; intégrer le retarde d'autant. La bobine dérive, le condensateur intègre, et leurs déphasages sont donc opposés — c'est cette opposition qui produira la résonance.

Deux comportements limites en découlent, et ils suffisent souvent à répondre sans calcul :

• à basse fréquence, $L\omega \to 0$ (la bobine devient un fil) et $1/C\omega \to \infty$ (le condensateur bloque) ;
• à haute fréquence, c'est l'inverse : la bobine bloque, le condensateur laisse passer.

Le circuit RLC série et la construction de Fresnel

Les trois dipôles en série, sous une tension $u$ de pulsation $\omega$. On représente chaque tension par un vecteur : longueur proportionnelle à la valeur efficace, angle égal au déphasage par rapport à l'intensité.

L'addition des tensions instantanées devient alors une addition vectorielle. Et parce que $\vec{U_L}$ et $\vec{U_C}$ pointent en sens opposés, seule leur différence subsiste : le triangle obtenu est rectangle, et Pythagore donne tout.

Ces formules ne se retiennent pas, elles se lisent sur la figure — et c'est pourquoi il faut tracer le diagramme avant de calculer quoi que ce soit. Une copie qui écrit directement la formule de $Z$ sans figure se trompe de signe une fois sur deux.

Le signe de $\varphi$ nomme le comportement du circuit :

• $L\omega > 1/C\omega$ : le circuit est inductif, la tension est en avance sur le courant ;
• $L\omega < 1/C\omega$ : il est capacitif, la tension est en retard.

La résonance

Lorsque la réactance s'annule, l'impédance tombe à sa valeur minimale $R$ et l'intensité devient maximale. C'est la résonance d'intensité, obtenue pour

À cette pulsation, et à elle seule :

Le circuit se comporte comme une simple résistance : les effets de la bobine et du condensateur ne disparaissent pas, ils se compensent exactement.

C'est là qu'intervient le phénomène le plus contre-intuitif du chapitre. À la résonance, les tensions aux bornes de $L$ et de $C$ peuvent dépasser largement celle du générateur — d'un facteur $Q = L\omega_0/R$, le facteur de qualité. Un circuit alimenté sous $24$ V peut porter $60$ V aux bornes de sa bobine. Il n'y a pas de contradiction : ces deux tensions sont opposées et leur somme reste nulle. C'est aussi ce qui rend la résonance dangereuse en pratique, et ce qui la rend utile en radio, où elle permet de sélectionner une station parmi toutes celles que capte l'antenne.

Plus $R$ est petite, plus la résonance est aiguë : la courbe $I(\omega)$ est étroite, la sélectivité grande. Une résistance élevée l'amortit et l'aplatit.

Puissance et facteur de puissance

La puissance moyenne consommée n'est pas le produit des valeurs efficaces : il faut la corriger par $\cos\varphi$, le facteur de puissance. Cela tient à ce que la bobine et le condensateur ne consomment rien en moyenne — ils stockent l'énergie pendant un quart de période et la restituent pendant le suivant. Seule la résistance dissipe, et l'on peut d'ailleurs écrire $\mathcal{P} = R\,I^2$.

Un facteur de puissance faible signifie qu'un fort courant circule pour peu de puissance utile : les pertes en ligne, en $R I^2$, augmentent sans contrepartie. C'est pourquoi les distributeurs facturent aux industriels un $\cos\varphi$ trop bas, et pourquoi on le corrige en ajoutant des condensateurs aux installations à moteurs, fortement inductives.

À vous

// Un circuit RLC série : R = 40 ohms, L = 0.20 H, C = 20 µF,
// alimenté sous une tension efficace U = 24 V.
const R = 40, L = 0.20, C = 20e-6, U = 24;

// 1. Les trois impédances, puis celle du circuit entier.
//    Attention : les impédances ne s'additionnent PAS.
const impedance = (omega) => 0;   // à corriger
const dephasage = (omega) => 0;   // en radians, à corriger

// 2. L'intensité efficace, et la pulsation de résonance.
const intensite = (omega) => 0;   // à corriger

const w = 250;
console.log(impedance(w).toFixed(1), (dephasage(w) * 180 / Math.PI).toFixed(1));
// attendu : 50.0  -36.9

// 3. Balayez la pulsation et trouvez celle qui maximise l'intensité.
//    Comparez-la à 1/sqrt(L*C).

Un exercice de bac

À retenir