Sujets types — Outils de base

Les trois chapitres précédents ne sont pas des sujets d'examen : ce sont des outils. Un énoncé de baccalauréat ne demande jamais « faites une récurrence » ni « calculez un barycentre ». Il pose une question, et c'est à vous de reconnaître lequel des trois outils la résout.

Cette leçon travaille exactement cette reconnaissance. Chaque sujet est donné en entier, puis décortiqué : ce que l'énoncé dit, ce qu'il ne dit pas, et le geste attendu.

Sujet 1 — Une somme à démontrer

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$ pour $n \geqslant 1$. Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_n = \left(n(n+1)/2\right)^2$.

Lecture de l'énoncé. Une propriété qui dépend d'un entier $n$, à démontrer pour tout $n$. Il n'y a pas d'autre outil : c'est une récurrence. Le mot n'apparaît pas dans l'énoncé, et il n'apparaîtra jamais.

Initialisation. Pour $n = 1$ : $u_1 = 1$ et le membre de droite vaut $(1 \times 2 / 2)^2 = 1$. La propriété est vraie au rang 1. Une ligne, un calcul.

Hérédité. On suppose la propriété vraie à un rang $k \geqslant 1$ quelconque. Alors

Tout le travail est là : faire apparaître le membre de droite au rang $k+1$. On factorise par $(k+1)^2$ :

ce qui est exactement la propriété au rang $k+1$.

Sujet 2 — Un comité

Un club compte 7 femmes et 5 hommes. On forme un comité de 4 personnes.

1. Combien de comités possibles ?
2. Combien comportent exactement 2 femmes ?
3. Combien comportent au moins une femme ?

Lecture. « Comité » : un ensemble, donc sans ordre. Personne n'y figure deux fois, donc sans remise. Les deux questions du chapitre sont tranchées avant tout calcul — c'est une affaire de combinaisons.

Question 1. Choisir 4 personnes parmi 12 :

Question 2. Le comité se construit en deux temps indépendants : 2 femmes parmi 7, puis 2 hommes parmi 5. Deux choix successifs se multiplient :

Question 3. « Au moins une » : le réflexe du complémentaire. Le contraire de « au moins une femme » est « aucune femme », c'est-à-dire 4 hommes parmi 5, soit $\binom{5}{4} = 5$ comités. Donc $495 - 5 = 490$.

Traiter la question 3 directement demanderait quatre calculs — exactement 1, 2, 3 ou 4 femmes — et leur somme. Le complémentaire en demande un.

Sujet 3 — Un lieu géométrique

$ABC$ est un triangle. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\lVert 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \rVert = 12$.

Lecture. Une somme de vecteurs variables, dont on impose la norme. La somme des coefficients vaut $2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$ : le barycentre existe. C'est le signal.

Réduction. Soit $G$ le barycentre de $\{(A,2),(B,1),(C,1)\}$. La propriété fondamentale donne, pour tout point $M$ :

La condition devient $\lVert 4\overrightarrow{MG} \rVert = 12$, c'est-à-dire $MG = 3$.

Conclusion. L'ensemble cherché est le cercle de centre $G$ et de rayon 3. Une condition portant sur trois points variables est devenue une condition portant sur un seul : c'est tout ce que le barycentre sert à faire.

Il reste à placer $G$, ce que l'énoncé attend explicitement : $G$ est le barycentre de $A$ affecté de 2 et du milieu $I$ de $[BC]$ affecté de 2 — par associativité — donc $G$ est le milieu de $[AI]$.

Vérifier plutôt que croire

Un résultat de dénombrement se contrôle en énumérant sur un petit cas. Si la formule et l'énumération divergent, c'est la formule qui est fausse.

// Une formule de dénombrement se vérifie en énumérant, sur de petits cas.
// C'est le seul contrôle honnête : si l'énumération et la formule divergent,
// c'est la formule qui est fausse.

// Comités de 3 personnes parmi 6, dont AU MOINS une femme.
// Les personnes 0, 1, 2 sont des femmes ; 3, 4, 5 des hommes.
const PERSONNES = [0, 1, 2, 3, 4, 5];
const EST_FEMME = (p) => p < 3;

// 1. Énumération : construire toutes les parties à 3 éléments, puis filtrer.
function parEnumeration() {
  let compte = 0;
  for (let a = 0; a < 6; a++)
    for (let b = a + 1; b < 6; b++)
      for (let c = b + 1; c < 6; c++) {
        // à compléter : ne compter que si le comité contient une femme
      }
  return compte;
}

// 2. Formule : total − aucun homme… non, total − « aucune femme ».
const C = (n, p) => (p === 0 ? 1 : (C(n - 1, p - 1) * n) / p);
function parFormule() {
  return 0; // à corriger : C(6,3) moins les comités sans aucune femme
}

console.log(parEnumeration(), parFormule()); // les deux doivent donner 19

QCM du bloc

Les gestes du bloc

À retenir