Nombres complexes

On introduit $i$ tel que $i^2 = -1$ pour une raison d'algèbre — donner des racines à tous les trinômes — et l'on découvre un outil de géométrie. C'est ce double statut qui fait la richesse du chapitre : tout calcul algébrique sur les complexes a une lecture géométrique, et réciproquement.

Forme algébrique

Tout complexe s'écrit de manière unique $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels. On appelle $a = \operatorname{Re}(z)$ la partie réelle et $b = \operatorname{Im}(z)$ la partie imaginaire — qui est un réel, malgré son nom.

L'unicité est l'outil de démonstration principal : deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires le sont. Une équation complexe équivaut donc à un système de deux équations réelles.

Les opérations se font comme sur les polynômes, en remplaçant $i^2$ par $-1$ :

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\bar{z} = a - ib$. Il vérifie $\overline{z + z'} = \bar z + \bar{z'}$, $\overline{zz'} = \bar z \, \bar{z'}$, et surtout

qui est un réel positif. C'est ce produit qui permet de diviser : pour rendre un quotient sous forme algébrique, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Deux caractérisations à retenir : $z$ est réel si et seulement si $z = \bar z$ ; $z$ est imaginaire pur si et seulement si $z = -\bar z$.

Plan complexe

À $z = a + ib$ on associe le point $M(a;b)$, son image, et réciproquement $z$ est l'affixe de $M$. Le plan devient ainsi une représentation des complexes, et les opérations y prennent un sens.

Le module est une distance. C'est la traduction qui résout presque tous les exercices de lieux géométriques : $\lvert z - z_A \rvert = r$ signifie $AM = r$, donc $M$ décrit le cercle de centre $A$ et de rayon $r$. Et $\lvert z - z_A \rvert = \lvert z - z_B \rvert$ signifie $AM = BM$, donc la médiatrice de $[AB]$.

Forme trigonométrique

Pour $z \neq 0$, on peut écrire

où $r = \lvert z \rvert > 0$ et $\theta = \arg(z)$, défini modulo $2\pi$. L'argument est une mesure de l'angle entre l'axe des abscisses et $\overrightarrow{OM}$.

Zéro n'a pas d'argument : sa direction n'est pas définie. Écrire $\arg(0)$ est une faute.

Le passage d'une forme à l'autre est mécanique. De l'algébrique vers la trigonométrique : on calcule $r$, on factorise, et l'on reconnaît le cosinus et le sinus dans ce qui reste. De la trigonométrique vers l'algébrique : on développe.

Pourquoi deux formes ? Parce qu'elles ne servent pas aux mêmes opérations. L'addition est simple en algébrique, illisible en trigonométrique. La multiplication est l'inverse :

Les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. Choisir la forme adaptée à l'opération demandée est le premier réflexe du chapitre.

Cette règle a une lecture géométrique décisive : multiplier par $re^{i\theta}$, c'est effectuer une rotation d'angle $\theta$ suivie d'un agrandissement de rapport $r$. Toute la leçon suivante en découle.

Moivre et Euler

De la règle du produit découle, par récurrence, la formule de Moivre :

Elle rend triviale une puissance qui demanderait autrement $n$ développements. Elle sert aussi dans l'autre sens, à linéariser : développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$ par le binôme et identifier les parties réelles donne $\cos 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$.

Les formules d'Euler :

Elles transforment un produit de fonctions trigonométriques en somme d'exponentielles, donc un calcul difficile en calcul d'exposants.

Racines $n$-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n = 1$ sont les $n$ complexes

Leurs images forment un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un des sommets étant 1. Leur somme est nulle dès que $n \geqslant 2$ — le centre de gravité d'un polygone régulier est son centre.

Équations du second degré

Pour $az^2+bz+c=0$ à coefficients réels et $\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués

Le $-\Delta$ sous la racine est positif, donc la racine existe. C'est l'aboutissement algébrique du chapitre : tout trinôme admet des racines, et si les coefficients sont réels, elles sont conjuguées l'une de l'autre.

Interprétations à connaître

Les deux dernières lignes portent la plupart des questions de configuration : on traduit une propriété géométrique en une condition sur un quotient, puis on calcule.

À vous

// Multiplier deux complexes : les modules se multiplient, les arguments
// s'ajoutent. On le vérifie sur les deux écritures.

const mul = (a, b) => ({ re: 0, im: 0 }); // à corriger : (a+ib)(c+id)

const module = (z) => Math.hypot(z.re, z.im);
const argument = (z) => Math.atan2(z.im, z.re);
const deg = (r) => ((r * 180) / Math.PI).toFixed(2);

const z1 = { re: 1, im: 1 };          // module √2, argument 45°
const z2 = { re: 0, im: 2 };          // module 2,  argument 90°
const p = mul(z1, z2);

console.log("produit :", p);
console.log("|z1|·|z2| =", (module(z1) * module(z2)).toFixed(6), " |produit| =", module(p).toFixed(6));
console.log("arg z1 + arg z2 =", deg(argument(z1) + argument(z2)), "°  arg produit =", deg(argument(p)), "°");

// Élever au cube par la formule de Moivre plutôt que par trois produits.
const moivre = (z, n) => ({ re: 0, im: 0 }); // à corriger
console.log("z1³ par Moivre :", moivre(z1, 3));

À retenir