Limites et continuité

Étudier une fonction, c'est répondre à deux questions : que fait-elle loin, et que fait-elle près d'un point interdit. Les limites sont l'outil des deux. Elles ne décrivent pas une valeur atteinte mais une tendance, et cette nuance est le cœur du chapitre.

Limite en l'infini

$f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ si $f(x)$ devient et reste aussi proche de $\ell$ qu'on veut, pourvu que $x$ soit assez grand. Graphiquement, la courbe se colle à la droite horizontale d'équation $y = \ell$ : c'est une asymptote horizontale.

$f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si $f(x)$ dépasse tout seuil fixé à l'avance, pourvu que $x$ soit assez grand.

Une fonction peut aussi n'avoir aucune limite en $+\infty$ : $\cos x$ oscille indéfiniment entre $-1$ et $1$ sans se stabiliser ni s'échapper. « Pas de limite » est une conclusion recevable, et parfois la bonne.

Limite en un point

Le cas intéressant est celui d'un point où la fonction n'est pas définie. Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Une précaution s'impose alors : la limite peut différer selon le côté. Pour $f(x) = 1/(x-2)$, on a $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$. Écrire une limite unique en 2 serait faux — l'étude des deux côtés n'est pas un raffinement, c'est le travail.

Opérations et formes indéterminées

Les limites d'une somme, d'un produit, d'un quotient se calculent comme on l'espère — sauf dans quatre situations où le résultat dépend des fonctions en présence et ne peut pas se lire sur les seules limites :

« Forme indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire le calcul direct ne conclut pas, il faut transformer l'écriture. Trois techniques suffisent au programme.

Factoriser par le terme dominant. Pour une fraction rationnelle en $\pm\infty$, on met en facteur la plus haute puissance au numérateur et au dénominateur. Tout ce qui reste tend vers 0, et la limite se lit sur le rapport des termes dominants.

Multiplier par la quantité conjuguée. Devant une différence de racines, $\sqrt{A} - \sqrt{B}$, on multiplie et divise par $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ : la différence de carrés fait disparaître l'indétermination.

Reconnaître un taux d'accroissement. Une forme $0/0$ du type $\left(f(x) - f(a)\right)/(x - a)$ a pour limite $f'(a)$. C'est le pont entre ce chapitre et le suivant.

Limites par comparaison

Quand le calcul résiste, on encadre.

Théorème des gendarmes. Si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ au voisinage de $a$ et si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$ en $a$, alors $f$ tend vers $\ell$.

Comparaison à l'infini. Si $f(x) \geqslant g(x)$ et $g(x) \to +\infty$, alors $f(x) \to +\infty$. Une minoration suffit pour pousser vers l'infini ; inutile d'encadrer des deux côtés.

Ces théorèmes servent surtout devant une fonction bornée multipliée par quelque chose qui tend vers 0 : $\left|x\cos(1/x)\right| \leqslant |x| \to 0$, donc la limite est 0, alors que le produit est de la forme $0 \times$ « pas de limite ».

Asymptotes obliques

Si $f(x) - (ax + b) \to 0$ en $+\infty$, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique. La méthode d'un exercice est imposée : on donne souvent $f$ sous une forme où le reste apparaît, et il suffit de montrer que ce reste tend vers 0.

La position de la courbe par rapport à l'asymptote se lit sur le signe de $f(x) - (ax+b)$ : positif, la courbe est au-dessus. C'est une question systématique, et elle ne demande aucun calcul de limite.

Continuité

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Trois conditions y sont cachées : $f$ est définie en $a$, la limite existe, et les deux coïncident.

Toutes les fonctions usuelles — polynômes, rationnelles, racines, sinus, cosinus, exponentielle, logarithme — sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. En pratique on ne le redémontre jamais, on le cite.

Une fonction non définie en $a$ mais dont la limite existe se prolonge par continuité : on pose $f(a) = \ell$, et la nouvelle fonction est continue. C'est ce qui se passe pour $\sin(x)/x$ en 0, prolongée par la valeur 1.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$.

Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique. C'est la version employée en exercice, sous le nom de théorème de la bijection.

Deux remarques décident des points en copie. D'abord, la continuité est indispensable : la fonction partie entière saute de 0 à 1 sans jamais valoir $0{,}5$. Ensuite, le théorème est un théorème d'existence — il ne fournit aucune valeur. Pour approcher la solution, on encadre par dichotomie, exactement comme dans la recherche du même nom.

À vous

// Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une racine EXISTE.
// Il ne la donne pas. La dichotomie, elle, l'encadre autant qu'on veut.

const f = (x) => x ** 3 + x - 1;

// 1. Vérifier les hypothèses sur [0 ; 1] : f continue, et f(0), f(1) de signes contraires.
console.log("f(0) =", f(0), " f(1) =", f(1));

// 2. Encadrer la racine par dichotomie.
function racine(a, b, tours) {
  for (let k = 0; k < tours; k++) {
    const m = (a + b) / 2;
    // à compléter : garder la moitié où le changement de signe subsiste
  }
  return [a, b];
}

const [a, b] = racine(0, 1, 30);
console.log("racine dans [", a.toFixed(9), ";", b.toFixed(9), "]");
console.log("largeur :", (b - a).toExponential(2));

const f = (x) => x ** 3 + x - 1;

console.log("f(0) =", f(0), " f(1) =", f(1)); // −1 et 1 : signes contraires

function racine(a, b, tours) {
  for (let k = 0; k < tours; k++) {
    const m = (a + b) / 2;
    // Le changement de signe est du côté où le produit est négatif.
    if (f(a) * f(m) <= 0) b = m;
    else a = m;
  }
  return [a, b];
}

const [a, b] = racine(0, 1, 30);
console.log("racine dans [", a.toFixed(9), ";", b.toFixed(9), "]");

// Chaque tour divise l'encadrement par deux : 30 tours donnent 2^-30, soit
// neuf décimales. Le TVI a fourni l'existence, la dichotomie la précision.
console.log("largeur :", (b - a).toExponential(2));

Les réflexes du chapitre

À retenir