Induction électromagnétique

Le chapitre précédent partait d'un courant pour obtenir une force. Celui-ci fait le chemin inverse : à partir d'un mouvement, ou d'un champ qui varie, il fabrique un courant. C'est le phénomène sur lequel repose toute la production d'électricité — sans lui, ni alternateur, ni transformateur, ni recharge sans contact.

Une seule idée le porte, et elle est plus subtile qu'il n'y paraît : ce n'est pas le champ magnétique qui crée un courant, c'est sa variation.

Le flux magnétique

Le flux à travers une surface plane $S$ dont la normale fait l'angle $\theta$ avec $\vec{B}$ vaut

et $N\,B\,S\cos\theta$ pour une bobine de $N$ spires. Le flux mesure, intuitivement, le nombre de lignes de champ qui traversent la surface : maximal quand la surface leur est perpendiculaire ($\theta = 0$), nul quand elle leur est parallèle ($\theta = 90°$), et le cosinus fait le lien.

De cette écriture découlent les trois façons de faire varier un flux, et tout exercice du chapitre en exploite une :

1. faire varier $B$ — approcher un aimant, alimenter un électroaimant en courant variable ;
2. faire varier $S$ — déformer un circuit, déplacer une barre sur des rails ;
3. faire varier $\theta$ — faire tourner une bobine dans un champ fixe.

Le troisième cas est celui de l'alternateur, et il produit une tension sinusoïdale par la seule vertu du cosinus.

Les deux lois de l'induction

La loi de Lenz donne le sens, et elle s'énonce en une phrase : le courant induit s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui a donné naissance.

C'est une loi qualitative, mais c'est elle qui répond à la question posée en copie. Si l'on approche le pôle nord d'un aimant d'une bobine, le courant induit s'établit de manière à créer une face nord en regard — pour repousser l'aimant. On l'éloigne : le courant s'inverse pour l'attirer et le retenir. Le courant induit freine toujours ce qui le crée, et c'est ce qui rend l'induction compatible avec la conservation de l'énergie : il faut fournir un travail mécanique pour produire de l'électricité.

La loi de Faraday donne la valeur :

Le signe moins est la loi de Lenz, écrite mathématiquement. La force électromotrice induite $e$ s'exprime en volts, et elle est d'autant plus grande que le flux varie vite — non qu'il soit grand.

C'est la confusion centrale du chapitre : un flux énorme mais constant ne produit aucune tension, tandis qu'un flux faible qui s'annule brutalement en produit une considérable. On le vérifie sur l'alternateur, où la f.é.m. est maximale précisément à l'instant où le flux passe par zéro.

L'alternateur

Une bobine de $N$ spires, de surface $S$, tournant à la vitesse angulaire $\omega$ dans un champ uniforme $B$. L'angle vaut $\theta = \omega t$, donc

Une rotation uniforme produit une tension sinusoïdale. C'est de là — et non d'un choix technique arbitraire — que vient le courant alternatif du chapitre suivant : c'est la forme que prend naturellement l'électricité produite par une machine tournante.

L'amplitude $E_m = NBS\omega$ croît avec la vitesse de rotation : un alternateur qui tourne plus vite délivre une tension plus élevée et de fréquence plus haute, ce qui explique la régulation stricte de la vitesse des alternateurs d'une centrale.

Auto-induction

Une bobine parcourue par un courant crée son propre champ, donc son propre flux à travers elle-même. Si le courant varie, ce flux varie, et la bobine induit en elle-même une f.é.m. qui s'oppose à cette variation.

Le coefficient $L$ est l'inductance, en henrys (H). Elle ne dépend que de la géométrie de la bobine et du milieu, jamais du courant.

La conséquence pratique est visible : une bobine s'oppose aux variations brutales de courant. À la fermeture d'un circuit, le courant s'établit progressivement ; à l'ouverture, la bobine tente de le maintenir, ce qui provoque l'étincelle bien connue à l'interrupteur. Une bobine est, pour le courant, ce que l'inertie est pour la vitesse.

Elle emmagasine pour cela une énergie :

à comparer terme à terme avec $\tfrac{1}{2}mv^2$ — l'analogie est exacte, et elle aide à retenir laquelle des deux formules porte le facteur un demi.

Le transformateur, et les courants de Foucault

Deux bobines enroulées sur un même circuit magnétique : le primaire, alimenté en alternatif, crée un flux variable ; le secondaire, traversé par ce flux, voit apparaître une f.é.m. Le rapport des tensions est celui des nombres de spires.

Un transformateur ne fonctionne qu'en alternatif : en continu, le flux serait constant et rien ne serait induit. C'est la raison technique pour laquelle le transport de l'électricité se fait en alternatif — élever la tension pour limiter les pertes par effet Joule, puis l'abaisser à l'arrivée, n'est possible que sous cette forme.

Dans une masse métallique soumise à un flux variable, les courants induits circulent en boucles fermées : ce sont les courants de Foucault. Ils dissipent de l'énergie par effet Joule — nuisible dans un transformateur, où l'on feuillette le noyau pour les limiter ; utile dans le freinage électromagnétique des poids lourds, où l'on cherche justement à convertir l'énergie cinétique en chaleur sans contact ni usure.

À vous

// Une bobine plate de N spires, de surface S, tourne à la vitesse
// angulaire omega dans un champ magnétique uniforme B.
// C'est le principe de l'alternateur.
const N = 200, S = 2.0e-2, B = 0.15, omega = 314; // rad/s

// 1. Le flux à travers la bobine, à la date t.
const flux = (t) => 0;        // à corriger

// 2. La force électromotrice induite. Faites-la dériver
//    NUMÉRIQUEMENT du flux, puis comparez à l'expression exacte :
//    si les deux coïncident, la loi de Faraday est bien comprise.
const h = 1e-6;
const femNumerique = (t) => 0;  // à corriger, par taux d'accroissement
const femExacte = (t) => 0;     // à corriger, par dérivation à la main

for (const t of [0, 0.005, 0.01]) {
  console.log(femNumerique(t).toFixed(3), femExacte(t).toFixed(3));
}
// les deux colonnes doivent coïncider

// 3. La valeur maximale de la f.é.m., puis sa valeur efficace.

const N = 200, S = 2.0e-2, B = 0.15, omega = 314;

// Le flux à travers N spires : Phi = N * B * S * cos(theta), avec
// theta = omega*t l'angle entre la normale à la bobine et le champ.
const flux = (t) => N * B * S * Math.cos(omega * t);

// La loi de Faraday : e = -dPhi/dt. Le signe moins EST la loi de
// Lenz — l'induction s'oppose à la cause qui lui donne naissance.
const h = 1e-6;
const femNumerique = (t) => -(flux(t + h) - flux(t - h)) / (2 * h);

// À la main : la dérivée de cos(omega*t) vaut -omega*sin(omega*t),
// et les deux signes moins se compensent.
const femExacte = (t) => N * B * S * omega * Math.sin(omega * t);

for (const t of [0, 0.005, 0.01]) {
  console.log(femNumerique(t).toFixed(3), femExacte(t).toFixed(3));
}
// 0.000 0.000 | 94.198 94.198 | -0.052 -0.052

// Une rotation uniforme produit une f.é.m. SINUSOÏDALE : c'est
// d'ici que vient le courant alternatif du chapitre suivant, et
// non d'un choix technique.
const eMax = N * B * S * omega;
console.log(eMax.toFixed(1));              // 94.2 V
console.log((eMax / Math.SQRT2).toFixed(1)); // 66.6 V efficaces

// Remarquer où la f.é.m. est maximale : en t = 0.005 s, le flux
// passe par ZÉRO. Ce n'est pas le flux qui crée la tension, c'est
// sa VARIATION — la confusion la plus fréquente du chapitre.
console.log(flux(0.005).toExponential(2)); // ~0

Un exercice de bac

À retenir