Cinématique

La cinématique décrit un mouvement sans chercher à l'expliquer. Elle ne parle ni de forces ni de causes : elle répond à « où est le mobile, à quelle vitesse, et comment cette vitesse change ». L'explication viendra au chapitre suivant, avec les lois de Newton.

Cette séparation n'est pas une commodité de plan. Un exercice de mécanique se traite toujours dans cet ordre — décrire d'abord, expliquer ensuite — et l'inverser est la première source de blocage : on cherche les forces avant d'avoir choisi le repère dans lequel on va les projeter.

Référentiel, repère, et pourquoi ils ne sont pas la même chose

Le référentiel est le solide par rapport auquel on observe. Le repère est le système d'axes qu'on attache à ce solide pour écrire des nombres.

La distinction se voit dans un exemple : un voyageur assis dans un train est immobile dans le référentiel du wagon et animé de 200 km/h dans le référentiel du sol. Ce n'est pas le même mouvement décrit de deux façons, ce sont deux mouvements différents — et aucun des deux n'est plus vrai que l'autre. Un mouvement n'existe que relativement à un référentiel, et un énoncé qui l'omet est incomplet.

Trois référentiels reviennent au programme :

Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen à l'échelle d'un exercice : sa rotation existe mais ses effets sont négligeables pour une chute de quelques secondes.

Les trois vecteurs

Toute la cinématique tient dans une chaîne de deux dérivations.

En coordonnées cartésiennes, dériver un vecteur revient à dériver chacune de ses composantes séparément :

C'est cette propriété qui rend le choix du repère décisif : bien orienté, il découple le problème en deux mouvements indépendants qu'on traite l'un après l'autre. Mal orienté, il oblige à manipuler des composantes couplées pour rien.

Deux points de vocabulaire qui coûtent des points en copie :

La vitesse moyenne est un quotient de distance par durée ; la vitesse instantanée est une dérivée. Elles ne coïncident presque jamais, et un énoncé qui donne un temps de parcours et une distance ne donne pas la vitesse à l'arrivée.

L'accélération n'est pas « le fait d'aller plus vite ». C'est la variation du vecteur vitesse. Un mobile dont la vitesse garde une norme constante mais change de direction est accéléré — c'est exactement le cas du mouvement circulaire uniforme, plus bas.

Mouvement rectiligne uniforme

Trajectoire droite, vitesse constante, accélération nulle. Une seule équation :

Le mouvement est uniforme parce que $\vec{a} = \vec{0}$, et cette condition est exactement celle de la première loi de Newton : rien ne le distingue de l'immobilité, sinon le référentiel choisi.

Mouvement rectiligne uniformément varié

Trajectoire droite, accélération constante non nulle. C'est le cas le plus fréquent de l'épreuve, et les deux équations horaires s'obtiennent en intégrant $a$ deux fois :

Les constantes d'intégration ne sont pas des inconnues à déterminer laborieusement : ce sont les conditions initiales, la vitesse et la position à $t = 0$.

En éliminant $t$ entre ces deux relations, on obtient une troisième équation qui ne contient plus le temps :

Elle n'apporte aucune physique nouvelle, mais elle est indispensable dans un cas précis : lorsque l'énoncé ne donne aucune durée. « Quelle distance de freinage pour passer de 90 km/h à l'arrêt avec une décélération de 5 m/s² » se résout par cette seule ligne.

Uniformément varié ne veut pas dire accéléré. Le mouvement est accéléré si $\vec{v}$ et $\vec{a}$ ont le même sens, retardé s'ils sont opposés. Le critère se lit sur le signe du produit $a \cdot v$, et il peut changer au cours du mouvement : un mobile lancé vers le haut est d'abord retardé, puis accéléré, sans que son accélération ait varié d'un iota.

Mouvement circulaire uniforme

La trajectoire est un cercle de rayon $R$, parcouru à vitesse de norme constante. On l'écrit dans le repère de Frenet, dont les deux axes suivent le mobile : $\vec{u}_T$ tangent, orienté dans le sens du mouvement, $\vec{u}_N$ normal, dirigé vers le centre.

L'accélération est purement normale : sa composante tangentielle $\dfrac{dv}{dt}$ est nulle puisque $v$ ne varie pas. Elle est centripète — dirigée vers le centre, jamais vers l'extérieur. La « force centrifuge » que l'intuition réclame n'existe pas dans un référentiel galiléen ; ce qu'on ressent dans un virage est l'effet de la force centripète exercée par le siège.

Les grandeurs associées se déduisent les unes des autres :

où $\omega$ est la vitesse angulaire en rad/s, $T$ la période en secondes, $f$ la fréquence en hertz. L'accélération s'écrit aussi $a = \omega^2 R$, forme plus commode dès que l'énoncé fournit une période plutôt qu'une vitesse — le cas de tous les exercices sur les satellites.

La méthode, en cinq lignes

Un exercice de cinématique se traite toujours dans le même ordre, et le respecter fait gagner un temps considérable.

1. Référentiel : nommé explicitement, même quand il paraît évident.
2. Repère : origine et sens des axes, choisis pour simplifier — l'axe le long du mouvement, ou le long de la pente.
3. Conditions initiales : $x_0$ et $v_0$ lus dans l'énoncé, avec leur signe.
4. Équations horaires, écrites une fois pour toutes.
5. Résolution : la question posée devient une équation en $t$ ou en $x$.

L'étape 2 est celle qui se néglige et qui coûte le plus cher. Un axe vertical orienté vers le haut donne $a = -g$ ; orienté vers le bas, $a = +g$. Les deux choix sont corrects, mais les mélanger en cours de calcul ne l'est pas.

À vous

// Un mobile part de x0 = 5 m avec v0 = 12 m/s et décélère
// uniformément : a = -3 m/s².
const x0 = 5, v0 = 12, a = -3;

// 1. Les deux équations horaires du mouvement rectiligne
//    uniformément varié.
const x = (t) => 0;  // à corriger
const v = (t) => 0;  // à corriger

// 2. La date d'arrêt : l'instant où la vitesse s'annule.
const tArret = 0;    // à corriger

console.log(x(2), v(2));      // attendu : 23 6
console.log(tArret);          // attendu : 4
console.log(x(tArret));       // attendu : 29 — l'abscisse maximale

// 3. La relation indépendante du temps, v² - v0² = 2a(x - x0),
//    doit être vérifiée à TOUTE date. On le contrôle en t = 2.
const ecart = v(2) ** 2 - v0 ** 2 - 2 * a * (x(2) - x0);
console.log(ecart);           // attendu : 0

Un exercice de bac

À retenir