Mathématiques · C4 Arithmétique et probabilités · Chapitre 4 · 5 h

Sujets types — Arithmétique et probabilités

Exercices de bac : congruences, numération, arbres de probabilité et loi binomiale.

Le dernier bloc réunit trois chapitres qui n'ont pas grand-chose en commun, sauf une exigence : on n'y calcule rien avant d'avoir vérifié les hypothèses. Gauss demande une primalité relative, la loi binomiale trois conditions, l'ajustement affine un nuage effectivement aligné. Un résultat obtenu sans ces vérifications n'est pas approximatif, il est faux.

Sujet 1 — Une équation diophantienne

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $17x + 40y = 1$ .

Existence. $\operatorname{pgcd}(17,40)$ : par l'algorithme d'Euclide, $40 = 2\times17+6$ , $17 = 2\times6+5$ , $6 = 1\times5+1$ , $5 = 5\times1+0$ . Le PGCD vaut 1, qui divise 1 : il y a des solutions.

Solution particulière. On remonte les divisions :

1 = 6 - 5 = 6 - (17 - 2\times6) = 3\times6 - 17 = 3(40 - 2\times17) - 17 = 3\times40 - 7\times17

d'où $17\times(-7) + 40\times 3 = 1$ : le couple $(-7\,;3)$ convient.

Solution générale. En soustrayant l'équation particulière de l'équation générale :

17(x+7) = -40(y-3)

17 divise $40(y-3)$ et 17 est premier avec 40, donc par le théorème de Gauss 17 divise $y - 3$ . On pose $y = 3 + 17k$ , d'où $x = -7 - 40k$ .

\mathcal{S} = \left\{(-7 - 40k \;;\; 3 + 17k) \;,\; k \in \mathbb{Z}\right\}

Gauss est l'articulation du raisonnement, et l'omettre laisse la conclusion sans justification — c'est le point que les corrigés sanctionnent.

Quiz · 1 question

Dans la solution générale, les coefficients 40 et 17 sont croisés par rapport à l'équation 17x + 40y = 1. Pourquoi ?

Par convention d'écriture — convention
Parce que 17(x+7) = −40(y−3) : chaque variable se déplace du pas dicté par l'AUTRE coefficient — l'équation elle-même
C'est une erreur, il faudrait 17 avec x — erreur

Réponse : Pour que l'égalité se conserve, augmenter y de 17 doit faire varier x de −40 : les variations se compensent, et c'est le coefficient de l'autre variable qui fixe le pas. Intervertir donne une famille qui ne vérifie pas l'équation — une vérification sur k = 1 le montre aussitôt.

Sujet 2 — Un dernier chiffre

Déterminer le reste de la division euclidienne de $3^{2024}$ par 7.

On calcule les premières puissances modulo 7 : $3^1 \equiv 3$ , $3^2 \equiv 2$ , $3^3 \equiv 6$ , $3^4 \equiv 4$ , $3^5 \equiv 5$ , $3^6 \equiv 1 \pmod 7$ .

Le cycle est de longueur 6 — ce que le petit théorème de Fermat annonçait, 7 étant premier et 3 non divisible par 7. Comme $2024 = 6 \times 337 + 2$ :

3^{2024} = \left(3^{6}\right)^{337} \times 3^{2} \equiv 1^{337} \times 2 \equiv 2 \pmod 7

Le reste est 2.

La méthode est toujours la même : trouver le rang où la puissance revient à 1, puis réduire l'exposant modulo ce rang. Aucun grand calcul n'est nécessaire, et c'est tout l'intérêt des congruences.

Sujet 3 — Un arbre et un retournement

Une usine a deux machines. $A$ produit 60 % des pièces avec 3 % de défauts, $B$ produit 40 % des pièces avec 5 % de défauts.

Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?

Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de $A$ ?

Question 1. Probabilités totales, sur la partition $\{A;B\}$ :

P(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038

Question 2. Bayes :

P_D(A) = \frac{P(A) \times P_A(D)}{P(D)} = \frac{0{,}018}{0{,}038} \approx 0{,}474

Environ 47 %. Le résultat mérite un commentaire : $A$ est la machine la plus fiable, et pourtant elle fournit presque la moitié des pièces défectueuses — parce qu'elle produit beaucoup plus. Un taux de défaut faible sur un gros volume peut peser autant qu'un taux élevé sur un petit. C'est la même mécanique que le test de dépistage, dans un habillage industriel.

Quiz · 1 question

Dans le sujet 3, pourquoi la machine la plus fiable fournit-elle près de la moitié des pièces défectueuses ?

Parce que son taux de défaut a été mal estimé — erreur de données
Parce qu'elle produit un volume bien plus important — effet de volume
Parce que les deux machines sont en réalité équivalentes — équivalence

Réponse : 0,6 × 0,03 = 0,018 contre 0,4 × 0,05 = 0,020 : les deux contributions sont presque égales, le volume compensant la fiabilité. C'est l'effet que la formule des probabilités totales rend visible et que l'intuition manque systématiquement.

Sujet 4 — Un ajustement

On relève la production $y$ (en milliers d'unités) d'une usine sur six années $x$ . Le coefficient de corrélation calculé vaut $r = 0{,}98$ et la droite d'ajustement est $y = 1{,}9x + 0{,}4$ .

Que peut-on dire de l'ajustement ?

Estimer la production pour $x = 4$ , puis pour $x = 25$ .

Question 1. $r$ proche de 1 : les points sont fortement alignés, un ajustement affine est pertinent sur la plage observée.

Question 2. Pour $x = 4$ : $y = 1{,}9 \times 4 + 0{,}4 = 8$ milliers d'unités. La valeur est à l'intérieur de la plage des six années : c'est une interpolation, et l'estimation est raisonnable.

Pour $x = 25$ : le calcul donne $47{,}9$ , mais cette valeur n'a aucune garantie. Rien n'assure que la croissance affine se prolonge vingt ans ; une usine sature, un marché se retourne. Le modèle décrit ce qui a été observé, il ne prédit pas ce qui ne l'a pas été.

Répondre « $47{,}9$ » sans cette réserve est une réponse incomplète. Le chapitre attend qu'on distingue interpoler d'extrapoler.

QCM du bloc

QCM de bloc · 7 questions

Bloc IV — Arithmétique et probabilités

1. 8 et 9 sont-ils premiers entre eux ?

Non, aucun des deux n'est un nombre premier
Oui, leur PGCD vaut 1
Non, ils sont consécutifs

Réponse : « Premiers entre eux » signifie PGCD égal à 1, et ne dit rien de la primalité de chacun. 8 = 2³ et 9 = 3² n'ont aucun facteur commun. Deux entiers consécutifs sont d'ailleurs toujours premiers entre eux.

2. L'équation 6x + 9y = 4 admet-elle des solutions entières ?

Oui, une infinité
Non : pgcd(6, 9) = 3 ne divise pas 4
Oui, une seule

Réponse : Le membre de gauche est toujours multiple de 3, le membre de droite ne l'est pas. La condition « pgcd(a,b) divise c » est la toute première vérification, et elle tranche ici sans aucun calcul supplémentaire.

3. Pour tester si 211 est premier, jusqu'où faut-il essayer les diviseurs ?

Jusqu'à 210
Jusqu'à 105, la moitié
Jusqu'à 14, car 14² dépasse 211

Réponse : Jusqu'à √211 ≈ 14,5. Au-delà, tout diviseur aurait un cofacteur inférieur à 14, déjà testé. Cette borne fait passer l'essai de 210 divisions à 6 — seuls les nombres premiers jusqu'à 13 sont à essayer.

4. Deux événements de probabilités non nulles sont incompatibles. Sont-ils indépendants ?

Oui, l'incompatibilité est une forme d'indépendance
Non, jamais : P(A∩B) = 0 alors que P(A)P(B) ≠ 0
Cela dépend des probabilités

Réponse : Les deux notions sont non seulement distinctes mais contradictoires ici. Incompatibles signifie que la réalisation de l'un EXCLUT l'autre : c'est une dépendance maximale, à l'opposé de l'indépendance.

5. X suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,2. Que vaut E(X) ?

Réponse : E(X) = np = 50 × 0,2 = 10. La variance vaudrait np(1−p) = 8 — c'est elle qu'on confond avec l'espérance quand on retient une seule formule pour deux grandeurs.

6. Un nuage de points donne r = 0,05. Que conclure ?

Les variables sont indépendantes
Aucune relation affine ne se dégage ; une autre relation reste possible
Les mesures sont fausses

Réponse : r ne mesure qu'un alignement. Des points disposés sur une parabole centrée donnent un r quasi nul alors que y est entièrement déterminé par x. Regarder le nuage avant de conclure fait partie de la méthode.

7. La droite des moindres carrés obtenue est y = 2x + 1, et le point moyen est (3 ; 8). Que conclure ?

L'ajustement est excellent
Il y a une erreur de calcul : la droite doit passer par le point moyen
Il faut recalculer le coefficient de corrélation

Réponse : 2 × 3 + 1 = 7, et non 8 : le point moyen n'est pas sur la droite, ce qui est impossible pour une droite des moindres carrés. C'est le contrôle le plus rapide d'un calcul d'ajustement, et il détecte l'erreur sans rien refaire.

Les gestes du bloc

L'énoncé demande…	Le geste
résoudre $ax + by = c$ dans $\mathbb{Z}$	vérifier que $\operatorname{pgcd}(a,b) \mid c$ , puis Euclide remonté et Gauss
un reste de grande puissance	chercher le cycle des puissances modulo $n$
« sachant que… »	probabilité conditionnelle, et un arbre
retourner un conditionnement	Bayes, après les probabilités totales
« combien de succès sur $n$ essais »	loi binomiale, après vérification des trois conditions
une estimation hors plage	extrapolation : donner la valeur et la réserve

À retenir

Flashcards · 4 cartes

Première vérification devant ax + by = c en entiers ?: Que pgcd(a, b) divise c. Sinon il n'y a aucune solution, et le dire est la réponse complète.
Comment calculer un reste de très grande puissance ?: En cherchant le rang où la puissance revient à 1 modulo n, puis en réduisant l'exposant modulo ce rang.
Pourquoi une machine fiable peut-elle produire la moitié des défauts ?: Parce que le volume compense le taux. La formule des probabilités totales rend cet effet visible, l'intuition le manque.
Quelle réserve accompagne toute extrapolation ?: Rien ne garantit que la tendance se prolonge hors de la plage observée. L'ajustement décrit les données, il ne prédit pas.