Coniques

Ellipse, parabole, hyperbole portent des noms différents et paraissent sans rapport. Elles sont pourtant une seule et même construction, à un paramètre près. Ce paramètre s'appelle l'excentricité, et tout le chapitre consiste à voir comment il fait passer d'une courbe à l'autre.

La définition qui les unifie

Soit $F$ un point — le foyer —, $\mathcal{D}$ une droite ne passant pas par $F$ — la directrice — et $e > 0$ un réel. L'ensemble des points $M$ tels que

est une conique de foyer $F$, de directrice $\mathcal{D}$ et d'excentricité $e$.

Un seul rapport, trois courbes :

La parabole est le cas d'équilibre exact : le point est à égale distance du foyer et de la directrice. En dessous, il est plus près du foyer et la courbe se referme ; au-dessus, elle s'ouvre en deux branches.

Ellipse

Équation réduite, dans un repère où les axes de symétrie sont les axes de coordonnées :

Les grandeurs caractéristiques se déduisent de $a$ et $b$ :

Les foyers sont $F(c;0)$ et $F'(-c;0)$, les sommets $(\pm a; 0)$ et $(0;\pm b)$. Le segment de longueur $2a$ est le grand axe, celui de longueur $2b$ le petit.

Définition bifocale. L'ellipse est aussi l'ensemble des points tels que

C'est la construction du jardinier : une ficelle de longueur $2a$ tendue entre deux piquets. Cette caractérisation est souvent la plus rapide en exercice, car elle ne fait intervenir aucune directrice.

Quand $b = a$, on a $c = 0$, donc $e = 0$ : les deux foyers se confondent et l'ellipse devient un cercle. Le cercle n'est pas une conique à part, c'est le cas limite.

Hyperbole

Le signe moins est ce qui la distingue de l'ellipse, et il suffit à la reconnaître.

Noter la différence de signe avec l'ellipse : ici on ajoute. Les foyers sont donc plus loin que les sommets $(\pm a; 0)$, ce qui traduit l'ouverture de la courbe.

L'hyperbole possède deux asymptotes d'équations

qu'on obtient en remplaçant le 1 du second membre par 0 : l'équation se factorise alors en produit de deux équations de droites. C'est le moyen le plus rapide de les retrouver sans rien mémoriser.

Définition bifocale : $\lvert MF - MF' \rvert = 2a$. Une différence, là où l'ellipse avait une somme — les deux courbes sont bien les deux faces d'une même construction.

Parabole

Un seul foyer $F(p/2 \,;\, 0)$, une directrice d'équation $x = -p/2$, et le sommet à l'origine. Il n'y a pas de second foyer : la parabole est la conique du cas limite, celle où le second foyer est parti à l'infini.

Le paramètre $p$ mesure l'ouverture : plus il est grand, plus la courbe s'évase.

Reconnaître une conique

Devant une équation du second degré en $x$ et $y$, la démarche est fixe.

1. Regrouper les carrés en complétant chaque trinôme, pour faire disparaître les termes du premier degré. On obtient une équation centrée en un point $\Omega$.
2. Ramener au second membre 1, en divisant.
3. Lire les signes : deux plus donnent une ellipse (ou un cercle si les dénominateurs sont égaux), un plus et un moins une hyperbole. Un seul carré donne une parabole.
4. Extraire $a$, $b$, puis $c$, puis $e$ et les foyers.

L'étape 1 est celle qui prend du temps et où se perdent les points ; les trois autres se déroulent mécaniquement une fois la forme réduite obtenue.

Certaines équations ne donnent aucune courbe : $x^2/4 + y^2/9 = -1$ n'a aucune solution, une somme de carrés ne pouvant être négative. Le constater est la réponse.

À vous

// Une conique en équation réduite se classe sur ses deux coefficients.
//   x²/A + y²/B = 1  avec A, B > 0  → ellipse
//   x²/A − y²/B = 1                 → hyperbole
//   y² = 2px                        → parabole

// On donne A et B (négatif = signe moins devant le terme).
const CAS = [
  { nom: "16x²/16 + 9y²/9", A: 16, B: 9 },
  { nom: "x²/25 − y²/4", A: 25, B: -4 },
  { nom: "x²/9 + y²/9", A: 9, B: 9 },
  { nom: "x²/4 + y²/16", A: 4, B: 16 },
];

function classer(A, B) {
  // à compléter : renvoyer "cercle", "ellipse" ou "hyperbole"
  return "?";
}

// Excentricité : e = c/a avec c² = a² − b² (ellipse) ou c² = a² + b² (hyperbole).
function excentricite(A, B) {
  return 0; // à corriger
}

for (const { nom, A, B } of CAS) {
  console.log(nom, "→", classer(A, B), " e =", excentricite(A, B).toFixed(4));
}

const CAS = [
  { nom: "16x²/16 + 9y²/9", A: 16, B: 9 },
  { nom: "x²/25 − y²/4", A: 25, B: -4 },
  { nom: "x²/9 + y²/9", A: 9, B: 9 },
  { nom: "x²/4 + y²/16", A: 4, B: 16 },
];

function classer(A, B) {
  if (B < 0) return "hyperbole";
  return A === B ? "cercle" : "ellipse";
}

function excentricite(A, B) {
  if (B < 0) {
    // Hyperbole : c² = a² + b², et e > 1 toujours.
    const a2 = A, b2 = -B;
    return Math.sqrt(a2 + b2) / Math.sqrt(a2);
  }
  // Ellipse : a² est le PLUS GRAND des deux, c² = a² − b², et e < 1.
  const a2 = Math.max(A, B), b2 = Math.min(A, B);
  return Math.sqrt(a2 - b2) / Math.sqrt(a2);
}

for (const { nom, A, B } of CAS) {
  console.log(nom, "→", classer(A, B), " e =", excentricite(A, B).toFixed(4));
}

// Le cercle sort avec e = 0 : c'est l'ellipse dont les deux foyers sont
// confondus. Et l'hyperbole donne toujours e > 1. L'excentricité classe la
// conique à elle seule.

À retenir