Mathématiques · C2 Analyse · Chapitre 3 · 10 h

Dérivation et étude de fonctions

Conduire une étude complète : dérivées, variations, extremums, asymptotes, branches infinies, tracé.

La dérivation répond à une question locale — quelle est la pente de la courbe en ce point — et donne en retour une information globale : le sens de variation sur tout un intervalle. Ce passage du local au global est ce qui fait de la dérivée l'outil le plus employé de l'analyse.

Nombre dérivé et tangente

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement admet une limite finie :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

Les deux écritures sont la même. La seconde est celle qu'on reconnaît dans un calcul de limite de forme $0/0$ : dès qu'un quotient a cette allure, il y a un nombre dérivé caché.

Géométriquement, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$ , dont l'équation est

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Cette formule se reconstruit plutôt qu'elle ne se retient : une droite de pente $f'(a)$ passant par le point $\left(a, f(a)\right)$ .

Une fonction peut être continue sans être dérivable : $|x|$ en 0 a deux demi-tangentes de pentes $-1$ et $1$ . Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse.

Les dérivées à connaître

$f(x)$	$f'(x)$	Sur
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$1/x$	$-1/x^2$	$x \neq 0$
$\sqrt{x}$	$1/(2\sqrt{x})$	$x > 0$
$\ln x$	$1/x$	$x > 0$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$

La racine mérite une attention : $\sqrt{x}$ est définie en 0 mais n'y est pas dérivable, la tangente y étant verticale. L'intervalle de dérivabilité est donc plus petit que l'ensemble de définition, ce que l'énoncé attend qu'on précise.

Opérations

(u+v)' = u' + v' \qquad (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Le quotient est la source d'erreur principale, pour une seule raison : l'ordre des termes au numérateur. $u'v - uv'$ , pas l'inverse. Un moyen de contrôle : dériver $x/1$ doit redonner 1.

La composée porte le reste du chapitre :

\left(v \circ u\right)'(x) = u'(x) \times v'\!\left(u(x)\right)

soit, dans les cas du programme :

\left(u^n\right)' = n\,u'\,u^{n-1} \qquad \left(e^u\right)' = u'\,e^u \qquad \left(\ln u\right)' = \frac{u'}{u} \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

Toutes ont la même structure : la dérivée de l'intérieur multiplie la dérivée de l'extérieur. Oublier le facteur $u'$ est l'erreur la plus fréquente de toute l'analyse.

Quiz · 1 question

Quelle est la dérivée de e^(3x² + 1) ?

e^(3x² + 1) — sans facteur
6x·e^(3x² + 1) — u' × e^u
(6x + 1)·e^(3x² + 1) — dérivée fautive

Réponse : La formule est (e^u)' = u' e^u avec u = 3x² + 1, donc u' = 6x. Oublier ce facteur revient à traiter la composée comme une exponentielle simple — c'est l'erreur qui coûte le plus de points en analyse.

Dérivée et variations

C'est le théorème qui justifie tout le chapitre. Sur un intervalle $I$ :

$f' > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement croissante sur $I$ ;
$f' < 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement décroissante sur $I$ ;
$f' = 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ constante sur $I$ .

Le mot intervalle n'est pas décoratif. La fonction $1/x$ a une dérivée strictement négative sur son ensemble de définition, et pourtant elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : elle l'est sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ séparément. Un tableau de variations se construit intervalle par intervalle.

Extremums. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ . Le changement de signe est la condition qui compte : $x^3$ a une dérivée nulle en 0 sans y présenter d'extremum, car $3x^2$ reste positive de part et d'autre.

Quiz · 1 question

f' s'annule en a. Que peut-on en déduire ?

f admet un extremum local en a — extremum
Rien encore : il faut que f' change de signe en a — changement de signe
f est constante au voisinage de a — constante

Réponse : x³ en 0 est le contre-exemple à retenir : dérivée nulle, tangente horizontale, et pourtant aucun extremum — la fonction continue de croître. C'est le changement de signe de f', pas son annulation, qui crée l'extremum.

Convexité

La dérivée seconde décrit la façon dont la pente évolue.

$f$ est convexe sur $I$ si $f'' \geqslant 0$ : la pente augmente, la courbe tourne vers le haut, et elle est au-dessus de chacune de ses tangentes. Concave si $f'' \leqslant 0$ , avec toutes les propriétés inversées.

Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe : la courbe y traverse sa tangente. Même précaution que pour les extremums, et pour la même raison.

La convexité fournit des inégalités qu'on ne saurait pas établir autrement. La fonction exponentielle étant convexe, sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'où $e^x \geqslant x + 1$ pour tout réel $x$ — une inégalité qui resservira constamment.

L'étude complète d'une fonction

L'exercice type suit un ordre fixe, et le respecter fait gagner du temps.

Ensemble de définition, et réduction éventuelle par parité ou périodicité.
Limites aux bornes, et asymptotes qui en découlent.
Dérivée, avec l'ensemble de dérivabilité si différent.
Signe de $f'$ , souvent le vrai travail : factoriser, étudier un trinôme.
Tableau de variations, limites reportées aux bornes.
Points remarquables : tangentes horizontales, intersections avec les axes.
Tracé.

L'étape 4 est celle où se joue l'exercice. Une dérivée mal factorisée rend le signe illisible et fait échouer tout ce qui suit, même correctement mené.

À vous

Exercice de code

Comparez le nombre dérivé exact au taux d'accroissement, pour des h de plus en plus petits.

Point de départ

// Le nombre dérivé est la limite d'un taux d'accroissement.
// On le vérifie numériquement, puis on constate la limite du procédé.

const f = (x) => x ** 3 - 2 * x;
const fPrimeExacte = (x) => 0; // à corriger : dérivée de x³ − 2x

// Taux d'accroissement entre a et a+h.
function taux(a, h) {
  return 0; // à corriger
}

const a = 1.5;
console.log("dérivée exacte :", fPrimeExacte(a));
for (const h of [1e-1, 1e-3, 1e-6, 1e-10, 1e-14]) {
  console.log("h =", h.toExponential(), " taux =", taux(a, h));
}
// Observez la dernière ligne : pourquoi le résultat se dégrade-t-il ?

Solution

const f = (x) => x ** 3 - 2 * x;
const fPrimeExacte = (x) => 3 * x ** 2 - 2;

function taux(a, h) {
  return (f(a + h) - f(a)) / h;
}

const a = 1.5;
console.log("dérivée exacte :", fPrimeExacte(a)); // 4.75
for (const h of [1e-1, 1e-3, 1e-6, 1e-10, 1e-14]) {
  console.log("h =", h.toExponential(), " taux =", taux(a, h));
}

// Le taux se rapproche de 4,75 puis S'EN ÉLOIGNE. En dessous de 1e-8, f(a+h)
// et f(a) sont si proches que leur différence perd ses chiffres significatifs,
// et la division par un h minuscule amplifie l'erreur.
//
// La limite mathématique est exacte ; son calcul numérique ne l'est pas.
// C'est pourquoi on dérive formellement, jamais par différences finies.

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f en a ?: y = f'(a)(x − a) + f(a) : une droite de pente f'(a) passant par le point (a, f(a)).
Quelle est la dérivée d'une composée v ∘ u ?: u' × v'(u) : la dérivée de l'intérieur multiplie la dérivée de l'extérieur. Le facteur u' est ce qu'on oublie.
f' > 0 sur un ensemble : f est-elle croissante ?: Seulement si cet ensemble est un INTERVALLE. 1/x a une dérivée négative partout sans être décroissante sur ℝ*.
f'(a) = 0 suffit-il à conclure à un extremum ?: Non. Il faut que f' change de signe en a. Contre-exemple : x³ en 0, dérivée nulle et pourtant strictement croissante.
Que dit la convexité sur la position des tangentes ?: Une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes. D'où e^x ≥ x + 1, tangente en 0.