Barycentre

Le barycentre n'est pas un chapitre de géométrie parmi d'autres : c'est un outil de réduction. Sa fonction est de remplacer une somme de vecteurs ou de distances par une seule, rapportée à un point unique. Une expression qui dépend de trois points devient une expression qui dépend d'un seul, et un lieu géométrique inextricable devient un cercle. Tout le chapitre tient dans ce mouvement.

Deux points pondérés

Soient $A$ et $B$ deux points et $\alpha, \beta$ deux réels tels que $\alpha + \beta \neq 0$. Le barycentre $G$ du système $\{(A,\alpha),(B,\beta)\}$ est l'unique point vérifiant

La condition $\alpha + \beta \neq 0$ n'est pas une formalité : si la somme des coefficients est nulle, aucun point ne convient et le barycentre n'existe pas. C'est la première chose à vérifier, et la première ligne attendue en copie.

Deux propriétés se déduisent immédiatement de la définition.

Homogénéité. Multiplier tous les coefficients par un même réel $k \neq 0$ ne change pas $G$. On peut donc toujours simplifier : $\{(A,4),(B,6)\}$ et $\{(A,2),(B,3)\}$ ont le même barycentre. En pratique, on réduit avant de calculer.

Position. $G$ appartient à la droite $(AB)$, et plus précisément

Si $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe, $G$ est entre $A$ et $B$, plus près du point le plus lourd. Avec des coefficients de signes contraires, $G$ sort du segment.

La propriété fondamentale

Elle porte tout le reste du chapitre. Si $G$ est le barycentre de $\{(A,\alpha),(B,\beta)\}$, alors pour tout point $M$ du plan :

La démonstration tient en une ligne — insérer $G$ par la relation de Chasles dans chaque vecteur — mais l'usage est considérable : une somme de deux vecteurs variables devient un seul vecteur variable. C'est cette réduction qu'on cherchera systématiquement.

En prenant $M = O$ l'origine d'un repère, on obtient la formule de calcul :

Chaque coordonnée est la moyenne des coordonnées, pondérée par les coefficients. Rien de plus.

$n$ points, et l'isobarycentre

La définition s'étend sans changement à $n$ points pondérés, sous la même condition que la somme des coefficients soit non nulle :

Quand tous les coefficients sont égaux, $G$ s'appelle l'isobarycentre. Pour deux points, c'est le milieu ; pour un triangle, c'est le centre de gravité, point de concours des médianes, situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet : $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$, où $A'$ est le milieu de $[BC]$.

Ce résultat classique n'a pas à être admis : il se démontre en trois lignes par associativité, et c'est justement l'objet de la section suivante.

L'associativité

C'est le théorème le plus utile du chapitre. Dans un système de points pondérés, on peut remplacer un sous-groupe de points par leur barycentre partiel, affecté de la somme de leurs coefficients, sans changer le barycentre global.

L'animation construit $G = \mathrm{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}$ des deux façons, puis fait varier le coefficient de $C$.

Sur l'exemple : $I = \mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}$ est sur $[AB]$, et $G = \mathrm{bar}\{(I,3),(C,1)\}$ est sur $[IC]$. Le coefficient de $I$ est $2+1 = 3$, et l'oublier est l'erreur qui coûte le plus de points dans ce chapitre : on écrit $I$ avec son ancien coefficient, ou avec $1$, et tout le reste s'effondre.

L'intérêt est double. D'une part, un problème à trois points devient un problème à deux, où $G$ se lit sur un segment. D'autre part, l'associativité démontre des alignements : dire que $G$ est le barycentre de $I$ et $C$, c'est exactement dire que $G$, $I$ et $C$ sont alignés. C'est ainsi qu'on établit le concours des médianes — l'isobarycentre de $A$, $B$, $C$ est aussi le barycentre de $A'$ (milieu de $[BC]$, donc de coefficient $2$) et de $A$, donc il est sur la médiane $(AA')$ ; le même raisonnement sur les deux autres médianes conclut.

Lignes de niveau

C'est l'application qui tombe à l'épreuve. On cherche l'ensemble des points $M$ vérifiant une égalité, et la méthode est toujours la même : réduire à l'aide d'un barycentre bien choisi, jusqu'à reconnaître une figure élémentaire.

Ligne de niveau de $\left\lVert \alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} \right\rVert = k$. La propriété fondamentale donne $\lvert \alpha+\beta \rvert \times MG = k$, donc $MG = \dfrac{k}{\lvert \alpha+\beta \rvert}$ : le lieu est le cercle de centre $G$ et de ce rayon — ou un point si $k = 0$, ou l'ensemble vide si $k$ est négatif.

Ligne de niveau de $\alpha MA^2 + \beta MB^2 = k$. En introduisant le barycentre $G$ et en développant $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$ :

Les deux derniers termes sont des constantes : elles ne dépendent pas de $M$. L'égalité se ramène donc à $MG^2 = \text{constante}$, et le lieu est encore un cercle de centre $G$ — vide si la constante obtenue est strictement négative.

Ligne de niveau de $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = k$. Avec $I$ le milieu de $[AB]$, on établit $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$, d'où un cercle de centre $I$. Le cas $k = 0$ redonne le cercle de diamètre $[AB]$.

La constante est le seul endroit où l'on calcule vraiment ; le reste est mécanique. Et dans les trois cas, la conclusion doit discuter le signe : un rayon au carré négatif donne l'ensemble vide, et l'oublier coûte les derniers points de la question.

Méthode : un lieu géométrique, pas à pas

Si la somme des coefficients est nulle, la réduction échoue — mais elle échoue utilement : la somme $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB}$ devient alors un vecteur constant, indépendant de $M$, et le lieu est une droite. Ce cas est un sujet d'exercice à part entière, et non un accident.

À vous

// Chaque coordonnée de G est la moyenne des coordonnées, pondérée
// par les coefficients. Écrivez-la une seule fois, pour une liste
// de couples [point, coefficient].
const A = { x: 1, y: 2 };
const B = { x: 7, y: 0 };
const C = { x: 4, y: 6 };

const barycentre = (ponderes) => ({ x: 0, y: 0 }); // à corriger

// Le chemin direct.
const G = barycentre([[A, 2], [B, 1], [C, 1]]);

// Le chemin par associativité : on regroupe A et B en I,
// affecté de la SOMME de leurs coefficients.
const I = barycentre([[A, 2], [B, 1]]);
const G2 = barycentre([[I, 3], [C, 1]]);

console.log(G.x, G.y);    // attendu : 3.25 2.5
console.log(G2.x, G2.y);  // attendu : le même point

const A = { x: 1, y: 2 };
const B = { x: 7, y: 0 };
const C = { x: 4, y: 6 };

// La masse totale ne doit jamais être nulle : c'est la condition
// d'existence du barycentre, et le seul cas à écarter.
const barycentre = (ponderes) => {
  const masse = ponderes.reduce((t, [, m]) => t + m, 0);
  if (masse === 0) throw new Error("masse totale nulle : pas de barycentre");
  return {
    x: ponderes.reduce((t, [p, m]) => t + p.x * m, 0) / masse,
    y: ponderes.reduce((t, [p, m]) => t + p.y * m, 0) / masse,
  };
};

const G = barycentre([[A, 2], [B, 1], [C, 1]]);
const I = barycentre([[A, 2], [B, 1]]);
const G2 = barycentre([[I, 3], [C, 1]]);

console.log(G.x, G.y);    // 3.25 2.5
console.log(G2.x, G2.y);  // 3.25 2.5 — c'est l'associativité, vérifiée
                          // numériquement : le coefficient de I est 2+1 = 3,
                          // et l'oublier est l'erreur classique du chapitre.

À retenir